第43讲 抛物线（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第43讲 抛物线 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y=0 x=0 焦点 离心率 e=1 准线方程 范围 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0,y0)) 3.常用结论：与焦点弦有关的常用结论 设 ． (1)，. (2)(θ为AB的倾斜角)． (3). (4)以AB为直径的圆与准线相切． (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． 考点一 抛物线方程问题 考点二 求焦半径、焦点弦 考点三 定义转化法求距离的最值问题 考点四 抛物线的应用 考点一：抛物线方程问题 例1．（2023·北京西城·统考二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个抛物线的对称性，即可求抛物线的准线方程. 【详解】抛物线的准线方程为，因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以两个抛物线的准线也关于轴对称，所以的准线方程是. 故选：D 例2．（2023·陕西渭南·统考二模）抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转关系确定原抛物线所在位置，及旋转过程中图形形状不变得出原解析式，从而得结论． 【详解】抛物线的焦点在轴上，顶点为坐标原点， 其图象绕其顶点顺时针旋转之后，焦点在轴上， 因为形状不变，因此新图象解析式为， 变形为，所以， 故选：C． 考点二：求焦半径、焦点弦 例3．（2023届山东省滨州市高三二模数学试题）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】设抛物线的焦点为,则， 由抛物线的定义知，，解得. 故选：D. 考点三：定义转化法求距离的最值问题 例4．（2023·江西南昌·南昌十中校考一模）抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．9 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义结合几何图形求解. 【详解】如图， 设抛物线的准线为，过作于，过作于， 因为，所以当，，三点共线时， 取得最小值，故的最小值为． 故选:A. 考点四：抛物线的应用 例5．（2022秋·福建莆田·高二莆田二中校考阶段练习）一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号装置与卫星接收天线中心的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先设出抛物线的方程，将点代入抛物线方程求得，即可得出结果. 【详解】如图建立直角坐标系： 设抛物线的方程为， 利用已知条件可得：点在抛物线上， 所以，则， 所以信号装置与卫星接收天线中心的距离为. 故选：A. 一、单选题 1．（2023·天津南开·统考二模）已知拋物线的准线过双曲线的左焦点，点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的标准方程求出准线方程即可求出双曲线的左焦点，即可求；由为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，到抛物线焦点的距离为5，可求出点的坐标，把点代入双曲线的渐近线方程即可得出与相等，再根据即可求解. 【详解】 由题意知，拋物线的准线方程为，所以双曲线的左焦点坐标为，所以双曲线的. 又因为点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，所以，所以，代入抛物线方程即可得. 因为在双曲线的渐近线方程上，所以，又因为双曲线中，，所以， 所以双曲线的方程为：. 故选：D 2．（2023·陕西商洛·统考三模）设为坐标原点，直线与抛物线C:交于两点，若正三角形，则点到抛物线的焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，由对称性求出点，进一步求出的值，再利用定义求解即可. 【详解】设，由对称性可知，， 则，解得， 故点A到抛物线C的焦点的距离为． 故选：B. 3．（2023·河南新乡·统考三模）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】点代入抛物线方程，得，再利用