第一章 空间向量与立体几何五大易错点训练-2023-2024学年高二数学上学期考点剖析及精准练习（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何五大易错点训练 易错点01 对空间向量的相关概念理解不清 注意：①空间向量的定义：在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量；空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 ②几类特殊的空间向量： 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 1．（多选）给出下列命题，其中不正确的命题为（    ） A．若＝，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段； B．若，则是钝角； C．若为直线l的方向向量，则 (λ∈R)也是l的方向向量； D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面． 2．给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，由，则； ④在向量的数量积运算中. 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（    ） A．一个球 B．一个圆 C．半圆 D．一个点 4．如图，在正方体中，为其中心． （1）化简； （2）若，则可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？（至少写出两个） 5．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足. （1）判断，，三个向量是否共面； （2）若三棱锥为棱长为2正四面体，求. 6．（多选）下列命题正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．若，则 C．若，满足，且，同向，则 D．对于任意向量，，必有 7．下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①若，则与方向相同或相反； ②若，则A，B，C，D四点共线； ③若，不共线，则空间任一向量 (). A．0 B．1 C．2 D．3 易错点02 不能正确建立空间直角坐标系 注意：一定要满足轴，轴，轴两两垂直，要根据题意进行找条件，切勿凭感觉建系 8．如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E在棱PB上．      (1)证明：平面平面PBC； (2)当时，求二面角的余弦值． 9．如图，在多面体中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面．    (1)判断，，，四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边的中线上确定一点，使得平面． 10．如图,在直三棱柱中,是以为斜边的等腰直角三角形，,分别为上的点,且.    (1)若,求证:平面; (2)若,直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值. 11．如图所示，在直角梯形中，，，边上一点满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示.    (1)求证：； (2)求与平面所成角的余弦值. 12．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，且，是棱上的一点.    (1)求证：； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 13．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，，.    (1)证明：平面平面ABCD； (2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，求直线PD与底面ABCD所成角的正切值. 易错点03 证明线与面平行或垂直关系时，使用混乱 注意：设分别是直线l的方向向量,分别是平面的法向量． ①证明线面平行：； ②证明线面垂直：使得 14．在正方体中，直线与平面交于点. (1)求证：直线平面； (2)若，求的值. 15．在棱长为2的正方体中，E，F分别为的中点．应用空间向量方法求解下列问题． (1)求的长； (2)证明：平面． 16．如图，在三棱柱中，侧面底面，，，且，为的中点.在上是否存在一点，使得平面？若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置. 17．如图在边长是的正方体中，，分别为，的中点．应用空间向量方法求解下列问题． (1)证明：平面； (2)证明：平面． 18．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E，F分别是的中点. (1)求证：； (2)在平面内求一点G，使平面. 19．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.请用空间向量知识解决下列问题： (1)求证：； (2)求证：平面. 20．如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面，，，E是PD的中点．证明：平面. 易错点04 利用空间向量求线面角几种常见错误 注意：若直线与平面所成的角为,直线的方向向量为,平面的法向量为,则。 容易出错的是：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角;②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦,而忘了加绝对值③不清楚线面角的范围。 21．在长方体中，已知，，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值