第10章三角恒等变换知识点清单-2022-2023学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

新教材 苏教版2019版 数学必修第二册 第十章知识点清单 目录 第十章　三角恒等变换 10. 1　两角和与差的三角函数 10. 2　二倍角的三角函数 10. 3　几个三角恒等式 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第十章　三角恒等变换 10. 1　两角和与差的三角函数 一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式 1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角差的余弦公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β C(α-β) α，β∈R 两角和的余弦公式 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β C(α+β) 两角和的正弦公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β S(α+β) α，β∈R 两角差的正弦公式 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β S(α-β) 两角和的正切公式 tan(α+β)= T(α+β) α，β，α+β≠kπ+ (k∈Z) 两角差的正切公式 tan(α-β)= T(α-β) α，β，α-β≠kπ+ (k∈Z) 2. 两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α+β)的变形 tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β). tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β). tan αtan β=1-. (2)T(α-β)的变形 tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=tan(α-β). tan αtan β=-1. 2 / 2 二、辅助角公式 asin x+bcos x=sin(x+θ)(a，b不同时为零)， 其中cos θ=，sin θ=. 三、辅助角公式的应用 1. 公式形式：asin α+bcos α=sin(α+φ) 或 asin α+bcosα=cos(α-φ){tan φ=，a，b不同时为零}. 利用辅助角公式可将形如asin α+bcos α(a，b不同时为零)的三角函数式进行化简. 2. 形式的选择：化为正弦还是余弦，要根据具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质. 3. 辅助角公式的常见情形 (1)sin α±cos α=sin； (2)sin α±cos α=2sin； (3)cos α±sin α=2sin. 四、两角和与差的三角公式的灵活应用 1. 给角求值 解决给角求值问题时，一般先用诱导公式把角化整化小，再统一函数名称，即弦切互化，通常是切化弦，然后观察角之间的关系以及式子的结构特点，从整体出发，利用公式或公式的变形达到求值的目的. 2. 给值求值 (1)解决给值求值的问题时，应先分析角的关系，再考虑三角函数名称的联系，最后选择合适的公式求值. (2)分析已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，利用角的代换化异角为同角，具体做法：当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式；当已知角有一个时，应着眼于所求角与已知角的和或差的关系，然后应用公式把所求角变成已知角. 常见的角的拆分与组合：2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β， +=等. (3)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围. 3. 给值求角 已知三角函数值求角，通常是“值”+“范围”求角，其解题步骤如下： (1)根据条件确定所求角的范围； (2)求所求角的某种三角函数值(为防止增根，最好选取在上述范围内单调的三角函数)； (3)结合三角函数值及角的范围求角. 10. 2　二倍角的三角函数 一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 简记符号 公式 S2α sin 2α=2sin αcos α C2α cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α T2α tan 2α= 对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍； 4α是2α的二倍；3α是α的二倍； 是的二倍； 是的二倍. 二、倍角公式的变形 1. 2sin αcos α=sin 2α，sin αcos α=sin 2α，cos α=， cos2α-sin2α=cos 2α， =tan 2α. 2. (1)升幂公式： 1±sin 2α=si