第11章解三角形知识点清单-2022-2023学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

新教材 苏教版2019版 数学必修第二册 第11章知识点清单 目录 第11章　解三角形 11. 1　余弦定理 11. 2　正弦定理 11. 3　余弦定理、正弦定理的应用 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第11章　解三角形 11. 1　余弦定理 一、余弦定理 文字语言 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2=b2+c2-2bccos A， b2=c2+a2-2cacos B， c2=a2+b2-2abcos C 余弦定理的 其他形式 cos A=， cos B=， cos C= 二、利用余弦定理解三角形 类型 求解方法 已知两边和它们的夹角， 如a，b，C ①根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C，求出边c； ②根据cos A=，求出A； ③根据B=180°-(A+C)，求出B 已知三边 可以先用余弦定理求出两角(常常求较小两边所对的角)，再由A+B+C=180°求出第三个角 已知两边和其中一边的对角 可利用余弦定理求出第三边(注意边的取舍)，再运用余弦定理的另一种形式求其他的角 2 / 2 11. 2　正弦定理 一、正弦定理及其变形 文字语言 三角形的各边与它所对角的正弦的比相等 符号语言 == 常见变形 a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C， sin A=，sin B=，sin C=， a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C， =2R，其中R为△ABC外接圆的半径 二、三角形的面积公式 1. 三角形的面积公式：S△ABC=absin C=bcsin A=casin B. 三、利用正弦定理判断三角形解的个数 1. 三角形解的情况 (1)已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解. (2)已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能唯一确定. 2. 三角形解的个数的判断方法 “已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时，需要分析三角形解的情况，下面以已知a，b和A解三角形为例进行说明： 方法一：从代数角度分析 (1)若sin B=>1，则满足条件的三角形的个数为0，即无解； (2)若sin B==1，则满足条件的三角形的个数为1； (3)若sin B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2，由0<sin B=<1可得 B有两种情况，一种是B为钝角，另一种是B为锐角，考虑到“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等，此时需进行讨论. 方法二：从几何角度分析 角的类型 A为锐角 条件 a<bsin A a=bsin A bsin A<a<b b≤a 图形 解的情况 无解 一解 两解 一解 角的类型 A为钝角或直角 条件 a>b a≤b 图形 解的情况 一解 无解 四、正、余弦定理的应用 1. 选择合适的定理解三角形 三角形共有6个元素，当已知条件比较复杂时，需要我们辨别有用的条件，恰当地选择定理来解决问题. 常见情况： (1)当已知条件以边或正弦值之比的关系出现时，选择正弦定理； (2)当已知条件涉及正弦或外接圆半(直)径时，选择正弦定理； (3)当已知条件涉及角的余弦值、边的平方或者边的乘积时，选择余弦定理. 以上特征都不明显时，正弦定理和余弦定理可以交替使用，进行边与角的互化，解决问题. 2. 利用正、余弦定理判断三角形的形状 (1)化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状； (2)化角为边：根据正、余弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状. 要注意应用三角形内角的关系：如A+B+C=π⇒C=π-(A+B)， =-等. 11. 3　余弦定理、正弦定理的应用 一、实际测量中的有关名词 名词 定义 图示 铅垂平面 与水平面垂直的平面 坡角 坡面与水平面的夹角 坡比 坡面的垂直高度与水平宽度之比 视角 观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的角 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 指定方向线与目标方向线所成的角(指定方向线一般指正北或正南