第12章复数知识点清单-2022-2023学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

新教材 苏教版2019版 数学必修第二册 第12章知识点清单 目录 第12章　复数 12. 1　复数的概念 12. 2　复数的运算 12. 3　复数的几何意义 12. 4　复数的三角形式 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第12章　复数 12. 1　复数的概念 一、复数的有关概念及表示 1. 复数 (1)定义：把形如a+bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位. (2)表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部. 2. 复数集 全体复数所组成的集合叫作复数集，记作C. 二、复数的分类 1. 复数z=a+bi(a，b∈R)的分类： 复数 2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示：   三、两个复数相等的充要条件 1. 如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即 a+bi=c+di⇔ (a，b，c，d∈R). 这就是说，两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等. 2 / 2 四、 利用复数的分类解决参数问题 1. 判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数的取值使复数有意义，然后根据复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件求解. 设复数z=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则 (1)当且仅当b=0时，z为实数； (2)当且仅当a=b=0时，z为实数0； (3)当b≠0时，z为虚数； (4)当a=0且b≠0时，z为纯虚数； (5)当a≠0且b≠0时，z为非纯虚数. 2. 准确理解复数的概念是解题的基础，比如形如bi的复数不一定是纯虚数，只有满足限定条件b∈R且b≠0时，形如bi的复数才是纯虚数. 3. 对于复数z，明确其表示形式z=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度把复数z分解成两部分去认识它，即用两个实数认识一个复数. 将复数问题转化为两个实数(实部、虚部)问题是解决复数问题的基本方法. 五、复数相等的充要条件的应用 1. 复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是： (1)分别确定两个复数的实部与虚部； (2)利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程(组)求解. 12. 2　复数的运算 一、复数的四则运算 1. 复数的四则运算法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 加法 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 减法 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 乘法 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i 除法 ==+i(c+di≠0) 2. 复数加法与乘法的运算律 (1)复数加法运算律：对任何z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). (2)复数乘法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 二、共轭复数 1. 共轭复数的定义：我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数. 复数z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数记作，即=a-bi. 2. 共轭复数的性质：若记z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数为，则=a-bi. 对于z与有如下性质： (1)z·=a2+b2. (2)若z=，则z为实数. (3)共轭复数的和为实数，即z+=2a. (4) =± . (5) = . 三、复数的乘方 1. 复数范围内正整数指数幂的运算性质 对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有zmzn=zm+n，(zm)n=zmn，(z1z2)n= . 2. in(n∈N*)的周期性 一般地，如果n∈N*，那么我们有i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i. 特别地，对于4个连续的正整数a，b，c，d，有ia+ib+ic+id=0. 四、复数的四则运算 1. 复数的四则运算类似于实数的四则运算，有括号的先算括号里面的，无括号的先算乘除，后算加减. 复数代数运算中的常用结论： (1)(1±i)2=±2i， =i， =-i； (2) =1； (3)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a，b∈R). 2. 解决复数的乘