第2章 专项4 二次函数的存在性问题（word练习）-【勤径学升】2023-2024学年九年级下册数学同步练测（北师大版）

专项4　二次函数的存在性问题 与三角形有关的存在性问题　　 如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3). (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 1题图 (陕西中考)已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C. (1)求点B，C的坐标； (2)设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称，在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由. 与线段或角度有关的存在性问题　　 (中山二模)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－4，0)，B(1，0)两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx＋b1经过点A，C. (1)求抛物线和直线AC的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使线段EA绕点E逆时针旋转90°得到线段EA1，且A1刚好落在抛物线上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 3题图 与四边形有关的存在性问题　　 (随州中考)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)与x轴分别交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝－1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点. (1)直接写出抛物线的表达式； (2)如图②，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)设M为抛物线对称轴上一动点，当点P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项4　二次函数的存在性问题 1.解：(1)∵抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点， ∴设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3). ∵抛物线与y轴交于点C(0，3)， ∴a(0＋1)(0－3)＝3.解得a＝－1. ∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3. (2)存在.理由如下： 由y＝－x2＋2x＋3，得点D的坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1. ①若PC＝PD，设点P的坐标为(x，y). 根据勾股定理，得x2＋(3－y)2＝(x－1)2＋(4－y)2，即y＝4－x. 又∵点P(x，y)在抛物线上，∴4－x＝－x2＋2x＋3， 即x2－3x＋1＝0.解得x＝. ∵<1，故应舍去，∴x＝. ∴y＝4－x＝， 即点P的坐标为. ②若DC＝DP，∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性可知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P的坐标为(2，3). ③若CD＝CP，由图象可知此种情况不存在. 综上所述，符合条件的点P的坐标为或(2，3). 2.解：(1)令y＝0，即－x2＋2x＋8＝0， 解得x1＝－2，x2＝4，∴B(4，0). 令x＝0，得y＝8，∴C(0，8). (2)存在. 该抛物线的对称轴为直线x＝－＝1. ∵点C′与点C关于直线x＝1对称， ∴C′(2，8)，CC′＝2，∴CC′∥OB. ∵点P在y轴上，∴∠PCC′＝∠POB＝90°. ∵PC与PO是对应边， ∴△PCC′∽△POB，∴＝. 设P(0，y)， ⅰ.当y>8时，＝，∴y＝16，∴P(0，16). ⅱ.当0<y<8时，＝，∴y＝， ∴P. ⅲ.当y<0时，CP>OP，与＝矛盾， ∴点P不存在. ∴P(0，16)或P. 3.解：(1)将A(－4，0)，B(1，0)的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－3x＋4， 当x＝0时，y＝4，∴C(0，4)， 将A(－4，0)，C(0，4)的坐标分别代入y＝kx＋b1， 得解得 ∴直线AC的表达式为y＝x＋4. (2)存在. ∵y＝－x2－3x＋4＝－＋， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝－. 如答图，设直线x＝－交x轴于点H，当点E在x轴上方时，设直线AC与对称轴的交点为E′，连接BE′. 由(1)知直线AC的表达式为y＝x＋4，当x＝－时， y＝，∴E′的坐标为. ∵E′H＝AH＝BH＝，∴∠E′AB＝∠E′BA＝45°， ∴∠AE′B＝90°，∴点E即为所求. 当点E在x轴下方时，作A1F⊥EH于点F，连接A1E，AE，则∠A1FE＝∠EHA＝∠AEA1＝90°， ∴∠A1EF＝∠EAH＝90°－∠AEH. ∵A1E＝EA，∴△A1EF≌△EAH， ∴A1F＝EH，EF＝AH＝4－＝， 设点E(m<0)， 则点A1. ∵点A1在抛物线y＝－x2－3x＋4上， ∴m－＝－－3＋4， 解得m＝－或m＝(舍去