第2章 专项3 二次函数的最值问题（word练习）-【勤径学升】2023-2024学年九年级下册数学同步练测（北师大版）

专项3　二次函数的最值问题 线段的最值问题　　 (合肥庐阳区期中)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－6，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，6)，直线AD：y＝mx＋2与该抛物线交于点A，D，作y轴的平行线分别交抛物线、直线AD和x轴于点P，Q，R，点R位于点O，A之间. (1)求抛物线和直线AD的表达式； (2)求线段PQ的最大值； (3)连接PC，设AD与y轴交于点E，若四边形PCEQ是平行四边形，求点P的坐标. 1题图 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点M(－2，)，顶点N的坐标为，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C. (1)求该抛物线的表达式； (2)在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 2题图 面积的最值问题　　 (东莞模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(1，0)，B(3，0)，C(0，6)三点，直线y＝2x＋b′经过点A，交抛物线于点D. (1)求抛物线的表达式； (2)点E在线段AD上，且满足S△BDE＝2S△ABE，点F在x轴下方的抛物线上，设点F的横坐标为t，当t为何值时，△FBE的面积最大？请求出最大值. 3题图 (荆州沙市中学模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－6交x轴于A(－2，0)，B(6，0)两点，交y轴于点C，点Q为线段BC上的动点. (1)求抛物线的表达式； (2)过点Q作QP∥AC交第四象限内的抛物线于点P，连接PA，PB，AQ，记△PAQ与△PBQ的面积分别为S1，S2，设S＝S1＋S2，当S取最大值时，求点P的坐标，并求S的最大值. 4题图 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项3　二次函数的最值问题 1.解：(1)∵抛物线经过点A(－6，0)，B(3，0)，C(0，6)， ∴解得 故抛物线的表达式为y＝－x2－x＋6. ∵直线AD经过点A(－6，0)， ∴－6m＋2＝0，解得m＝. 故直线AD的表达式为y＝x＋2. (2)设点P的坐标为(－6<t<0)， 则点Q的坐标为. 由题意，得PQ＝－ ＝－t2－t＋4＝－(t＋2)2＋， ∴当t＝－2时，PQ有最大值，最大值为. (3)∵AD与y轴交于点E，∴E(0，2)，∴CE＝4. 若四边形PCEQ是平行四边形，则PQ＝CE， 即－(t＋2)2＋＝4. 解得t＝－4或t＝0(舍去). 当t＝－4时，－t2－t＋6＝， 故点P的坐标为. 2.解：(1)∵抛物线的顶点N的坐标为， ∴可设其表达式为y＝a(x＋1)2＋. 将M(－2，)的坐标代入，得a＋＝， 解得a＝－， 故抛物线的表达式为 y＝－(x＋1)2＋＝－x2－x＋. (2)存在.如答图，连接BC， 由(1)知y＝－x2－x＋， 令x＝0，得y＝，∴C(0，). 令y＝0，得x＝1或x＝－3， ∴A(1，0)，B(－3，0)，∴OA＝1，OB＝3，OC＝， ∴AC＝＝2，BC＝＝2，AB＝4， ∴BC2＋AC2＝AB2，∴BC⊥AC. 延长BC至点B′，使B′C＝BC，连接B′M，交直线AC于点Q，连接BQ，BM， 则点B，B′关于直线AC对称，∴QB＝QB′， ∴QB＋QM＝QB′＋QM＝MB′， ∴此时△QBM的周长最小. 由B(－3，0)，C(0，)，易得B′(3，2). 设直线MB′的表达式为y＝kx＋n， 将M(－2，)，B′(3，2)的坐标分别代入， 得解得 ∴直线MB′的表达式为y＝x＋. 同理可求得直线AC的表达式为y＝－x＋. 由得∴Q， ∴在直线AC上存在一点Q，使△QBM的周长最小. 3.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1，0)，B(3，0)， ∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)(x－3). 把点C(0，6)代入，得a(0－1)(0－3)＝6， ∴a＝2， ∴抛物线的表达式为y＝2(x－1)(x－3)＝2x2－8x＋6. (2)∵直线y＝2x＋b′过点A(1，0)， ∴2＋b′＝0，∴b′＝－2， ∴直线AD的表达式为y＝2x－2. 由解得或 ∴D(4，6). ∵A(1，0)，B(3，0)，∴AB＝2， ∴S△ABD＝×2×6＝6. 设点E(m，2m－2)，∵S△BDE＝2S△ABE， ∴S△ABE＝S△ABD＝2. ∴×2×(2m－2)＝2，∴m＝2，∴E(2，2)， ∴直线BE的表达式为y＝－2x＋6. 过点F作FG∥y轴交直线BE于点G， ∵F(t，2t2－8t＋6)(1<t<3)，∴G(t，－2t＋6)， ∴FG＝－2t＋6－(2t2－8t＋6)＝－2t2＋6t. 当1<t<2时，点G在线段BE的延长线上， ∴S△FBE＝S△FBG－S△FEG＝FG(xB－xE) ＝(－2t2＋6t)×(3－2) ＝－＋