第1章 直角三角形的边角关系 易错疑难集训1（word练习）-【勤径学升】2023-2024学年九年级下册数学同步练测（北师大版）

易错疑难集训一 没有明确三角形是否为直角三角形　 已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＝13，b＝12，c＝5，求sin B的值. 在△ABC中，tan A＝，tan B＝1，CD⊥AB于点D，且BD＝4，请画出示意图并且求边AB的长. 混淆特殊角的三角函数值　　 已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且满足＋＝0，则∠C的大小为(　　) A.30° B.60° C.75° D.105° (石家庄期末)2cos 30°－ tan 45°－的值为(　　) A.2－2 B.0 C.2 D.2 计算cos 60°－sin 30°＋tan 45°的值为(　　) A.2 B.－2 C.1 D.－1 计算： (1)2sin 30°＋3cos 60°－4tan 45°； (2)＋tan2 60°. 题中无图，忽略分类讨论　　 在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝________________. 已知Rt△ABC的两边长分别是6和8，求此三角形最小角的正弦值. 已知一个等腰三角形的两边长分别是8 cm和6 cm，求底角的正切值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错疑难集训一 1.解：由a＝13，b＝12，c＝5，得a2＝b2＋c2， 所以△ABC为直角三角形，且∠A为直角， 所以sin B＝＝. 本题的易错点有两处：一是想当然地直接把△ABC当作直角三角形，而不利用勾股定理的逆定理加以说明；二是没有找准边、角的对应关系，而得出sin B＝＝的错误答案，防止出错的关键是画出图形，对照图形准确地找到边、角的对应关系. 2.解：示意图如答图 2题答图 ∵tan A＝，tan B＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°. ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°， ∴∠DCB＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝4， ∴AD＝＝＝4. ∴AB＝BD＋AD＝4＋4. 此题易忽略直角三角形的条件，直接使用sin B＝得出错误结论，使用锐角三角函数求值时，必须在直角三角形中，若没有直角三角形，则需先构造直角三角形再求解. 3.C　[解析]由题意可知，cos A＝，tan B＝1，所以∠A＝60°，∠B＝45°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝75°. 4.B　[解析]2cos 30°－tan 45°－＝2×－1－(－1)＝－1－＋1＝0. 本题的易错之处：(1)对特殊角的三角函数值不熟悉，相互混淆；(2)对化简时忽视算术平方根的非负性，直解化简成1－. 5.C　[解析]原式＝－＋1＝1.故选C. 熟记30°，45°，60°角的三角函数值是解决特殊角的三角函数值的混合运算的关键，特别地，千万不要把cos 60°的值记错了，若不确定，可画直角三角形进行简单推导. 6.解：(1)2sin 30°＋3cos 60°－4tan 45° ＝2×＋3×－4×1 ＝1＋－4 ＝－. (2)＋tan2 60° ＝＋()2 ＝＋3 ＝. 7.或　[解析]若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，∴BC＝＝x，∴cos C＝＝＝；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，∴BC＝＝x，∴cos C＝＝＝；若∠C＝90°，2AB＝AC，不符合直角三角形的边角关系.故cos C＝或. 当所给条件未指明哪个角是直角时，应对直角进行分类讨论，防止漏解而出现错误. 8.解：(1)当6和8都是直角边长时，斜边长是10， ∴最短边长是6，∴最小角的正弦值是＝. (2)当8是斜边长时，另一直角边长是＝2， ∴最短边长是2，∴最小角的正弦值是＝. 综上所述，此三角形最小角的正弦值是或. 解答不确定的图形问题时，一般要分类讨论，此题中给出的直角三角形的两边长，没有指明两条边都是直角边，还是一条是直角边，另一条是斜边，故需分类讨论进行求解. 9.解：(1)当等腰三角形ABC的腰长为6 cm，底边长为8 cm时，如答图①，过点A作底边BC的高AD，则BD＝CD＝4 cm. 在Rt△ADB中，∵∠ADB＝90°，AB＝6 cm，BD＝4 cm， ∴AD＝＝＝2(cm)， ∴tan B＝＝＝. 9题答图①　　　9题答图② (2)当等腰三角形ABC的腰长为8 cm，底边长为6 cm时， 如答图②，过点A作底边BC的高AD，则BD＝CD＝3 cm. 在Rt△ADB中，∵∠ADB＝90°，AB＝8 cm，BD＝3 cm， ∴AD＝＝＝(cm). ∴tan B＝＝. 综上可知，底角的正切值为或. 对于不确定的图形要分类讨论，此题中的等腰三角形的腰和底不确定，要分类讨论，不能遗漏任何一种情况. 学科网（北京）股份有限公司 $