专题01 解直角三角形重要模型之实际应用模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级下册

专题01. 解直角三角形重要模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.背靠背模型 4 模型2.母子模型 7 模型3.拥抱模型 12 15 解直角三角形在实际应用中的模型不仅具有严谨的数学逻辑，还蕴含许多有趣的工程故事与历史背景。 1）古埃及人测量金字塔高度时，利用日影长度与木桩构造直角三角形，通过相似三角形原理计算高度，堪称最早的“背靠背模型”实践‌。现代无人机航测中，该模型通过双观测点仰角数据，将不可达高度转化为三角函数关系，误差可控制在厘米级。 2）山区修建拦水坝时，工程师通过坡面铅直高度与水平宽度的比例关系，建立母子三角形同步推导坝体参数。某案例中，仅用两个观测点的数据便精准计算出倾斜角度，节省了30%的勘测成本。‌ 解直角三角形中的实际应用模型源于实际问题抽象为几何结构，培养数学建模能力，其思想在工程测绘、建筑设计中具有重要实践意义，并为中考动态几何题提供系统化框架‌。 （2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上）。(1)求两滑梯的高度差；(2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） （2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 1）背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 2）母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 3）拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 模型1.背靠背模型 例1（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 例2（25-26九年级上·重庆·阶段练习）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米．(1)求的长度；（结果保留根号）(2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 例3（2024·湖北·模拟预测）在某小区内有两栋楼房（A楼在B楼的左侧）从A楼向B楼的楼底看去，若视线大地的夹角，从B楼向A楼楼顶的最左侧看去，视线与楼顶的夹角，若两楼楼体均与地面垂直，两楼楼体均宽5米，A楼高米，求B楼的高．（可能有用的数据：、、） 例4（2024·广东·模拟预测）我国为了维护对钓鱼岛的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同，当轮船航行到距钓鱼岛的处时，飞机在处测得轮船的俯角是；当轮船航行到处时，飞机在轮船正上方的处，此时．轮船到达钓鱼岛时，测得处的飞机的仰角为．试求飞机的飞行距离（结果保留1位小数）． 模型2.母子模型 例1（2024·山西·模拟预测）百团大战纪念碑（主碑）坐落于山西省阳泉市狮脑山主峰上，雄伟壮观，形如一把锋利的刺刀．某校项目学习小组的同学把“测量百团大战纪念碑（主碑）的高度”作为项目学习课题，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告：    项目课题 测量百团大战纪念碑（主碑）的高度 驱动问题 你如何用所学知识测量百团大战纪念碑（主碑）的高度？ 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 人员分工 测量组：×××    记录组：××× 测量方案 方案一：   说明：如图1，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测点，与点B在同一条水平直线上，且测得.，，，点，，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上 方案二：   说明：如图，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测得的长度和的度数，点，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点，在同一条直线上 方案论证 计算结果 交流展示 项目反思 请根据活动报告，完成下面的问题：(1)根据方案一所测数据，计算百团大战纪念碑（主碑）的高度，（结果精确到；参考数据：，）;(2)根据方案二的测量过程，项目学习小组最终选择方案一进行测量和计算，请你说明他们这样选择的理由． 例2（2024·辽宁·模拟预测）朝阳市某中学数学兴趣小组要测量大凌河旁一棵大树的高度，他们第一次在点A测得大树顶端B的仰角为，然后从距A点水平距离为7米高1.6米的平台上的D点处测得树顶端点B的仰角为．依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，结果精确到） 例3（2025·四川广元·模拟预测）广元市位于四川省北部山地向盆地过渡地带，境内多山川河流．如图，市内一公园依山而建，入口点A处向前走5米有一坡度的斜坡，坡长米，在坡顶C处有一个平台，平台上修建了观景塔可俯瞰江景，，垂足为D，点E，F，D在同一条直线上，，在入口点 A 处看观景塔的塔顶E 的仰角在斜坡 的坡顶C 处看观景塔EF 的塔顶E的仰角，求的长．（结果精确到0.1米．参考数据： 例4（2024·贵州贵阳·一模）2024年春节来临之际，修文县在县城马路两旁人行道路灯杆上悬挂灯笼喜迎新春．图①是一名工人在一台直臂式高空作业车辅助下在路灯杆上挂灯笼，高空作业车第一次在A处以角方向完全伸出“手臂”后达到点B，此时工人不能到达悬挂灯笼的位置，高空作业车向前平移到达点E，在“手臂”长度保持不变的情况下增大与水平面的夹角，“手臂”顶端刚好与路灯悬挂灯笼位置C平齐，工人顺利挂好灯笼．操作示意图如图②所示，已知，量得，．（参考数据，，）(1)求“手臂”完全伸出时的长度；（结果保留根号） (2)求路灯挂灯笼位置到地面的距离．（结果保留一位小数） 例5（2024·安徽宣城·三模）如图，某机器人在一次操作时，将手臂，，依次展开，测得，垂直于地面，，，求操作手臂的最高点到地面的距离（结果保留根号）． 例6（2024·贵州黔东南·二模）某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．    (1)求点到水平地面的距离．(2)求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 模型3.拥抱模型 例1（2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 例2（2024·江苏·一模）如图，某校教学楼（矩形）前是办公楼（矩形），教学楼与办公楼之间是学生活动场所（）和旗杆（），教学楼、办公楼和旗杆都垂直于地面，在旗杆底C处测得教学楼顶的仰角为，在旗杆底C处测得办公楼顶的俯角为，已知教学楼高度为，旗杆底部（C）到办公楼底部（B）的距离比到教学楼底部（A）的距离少，求办公楼的高度．（参考数据，，） 例3（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，某小山高412米，其斜坡的坡度为，它的前面有一座建筑物．为了测量建筑物的高度，在山顶D和坡底C测的建筑物顶端A的俯角和仰角分别为，．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米，） 1．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（    ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 2．（2025·山东东营·中考真题）如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（    ）米． A． B． C． D． 3．（2024·广东·二模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 4．（2025·上海·中考真题）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为 米．（备用数据：，，，精确到米） 5．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）． 6．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为 米．（参考数据：，，，） 7．（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 ． 8．（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 9．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 10．（2024·江苏宿迁·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为． (1)求支柱的高；(2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到)      11．（2024·江苏南京·中考真题）如图，港口位于港口的北偏西方向，港口位于港口的北偏东方向，港口位于港口的北偏东方向．一艘海轮从港口出发，沿正北方向航行．已知港口到航线的距离为，求港口到航线的距离．（参考数据：．） 12．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 13．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：） 14．（2024·海南海口·模拟预测）河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡度的斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米． (1) ， ．(2)求点到直线的距离；(3)求桥墩的高（结果保留位小数）．（，，，） 15．（2024·江西·中考真题）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长；(2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 16．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，某数学活动小组用高度为米的测角仪，对垂直于地面的建筑物的高度进行测量，于点C．在B处测得A的仰角，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至处，于点G，测得A的仰角，的延长线交于点E，求建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：） 17．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，在载人飞船发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达B处，此时测得仰角为． (1)求点A离地面的高度；(2)求飞船从A处到B处的平均速度．（结果不取近似值） 18．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，先将无人机垂直上升至距水平地面的点P处，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点Q处，测得奇楼底端B的俯角为．（结果精确到，参考数据： ）．(1)求的长度；(2)求奇楼的高度．    19.（2024·江苏徐州·模拟预测）如图1，徐州云龙山是国家5A级景区，它既有自然风光，又有人文景观．小明沿图2所示的路线图登顶云龙山，他从山脚A出发；沿行走166米到达点B，再沿到山顶点C．已知山高为142米，从点A看点B的仰角为，从点B看点C的仰角为．求小明从山脚点A到达山顶点C共走了多少米？（结果精确到1米）． （参考数据：，，） 20．（2024·四川·校考一模）如图，电视塔是西安市的标志性建筑之一，学习测量后，小强想测量其高度如图，他先在电视塔附近一楼房的底端点处观测电视塔顶点处的仰角是，然后爬到该楼房顶端点处观测电视塔底部处的俯角恰好是，已知楼房高为米，根据以上观测数据，请你求出电视塔的高度（结果精确到米）（参考数据：，，，） 21．（2024·广东深圳·模拟预测）某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为．(1)求坡顶到地面的距离；(2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 22．（2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差；(2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01. 解直角三角形重要模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.背靠背模型 4 模型2.母子模型 7 模型3.拥抱模型 12 15 解直角三角形在实际应用中的模型不仅具有严谨的数学逻辑，还蕴含许多有趣的工程故事与历史背景。 1）古埃及人测量金字塔高度时，利用日影长度与木桩构造直角三角形，通过相似三角形原理计算高度，堪称最早的“背靠背模型”实践‌。现代无人机航测中，该模型通过双观测点仰角数据，将不可达高度转化为三角函数关系，误差可控制在厘米级。 2）山区修建拦水坝时，工程师通过坡面铅直高度与水平宽度的比例关系，建立母子三角形同步推导坝体参数。某案例中，仅用两个观测点的数据便精准计算出倾斜角度，节省了30%的勘测成本。‌ 解直角三角形中的实际应用模型源于实际问题抽象为几何结构，培养数学建模能力，其思想在工程测绘、建筑设计中具有重要实践意义，并为中考动态几何题提供系统化框架‌。 （2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上）。(1)求两滑梯的高度差；(2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴，答：两滑梯高度差为 （2）解：在中 ，，，∴， 在中，，，∴， ∴答：长． （2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】世纪钟建筑的高度约为 【详解】解：如图，延长与相交于点，根据题意，可得， 有，，，，， 在Rt中，，，在中，，． ，．． ．答：世纪钟建筑的高度约为． 1）背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 2）母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 3）拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 模型1.背靠背模型 例1（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 【答案】此河流的宽度为米 【详解】解：过点作于点， 设，则由题意得， ∵在中，，，∴， ∵在中，，， ∴，解得：，∴（米）， 答：此河流的宽度为米． 例2（25-26九年级上·重庆·阶段练习）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米．(1)求的长度；（结果保留根号）(2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【答案】(1)千米(2)千米 【详解】（1）解：过D作于H，过C作于E， ∵，∴四边形是矩形，∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米），∴千米，（千米）， ∵，∴千米，∴（千米）； （2）解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米，∴千米，在左边， ∵，∴千米，千米， ∴千米，在中，， ∴，解得或（舍去），∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 例3（2024·湖北·模拟预测）在某小区内有两栋楼房（A楼在B楼的左侧）从A楼向B楼的楼底看去，若视线大地的夹角，从B楼向A楼楼顶的最左侧看去，视线与楼顶的夹角，若两楼楼体均与地面垂直，两楼楼体均宽5米，A楼高米，求B楼的高．（可能有用的数据：、、） 【答案】米 【详解】解：延长交于，如图所示： ，，米，米， 米， 又， ，米，又米，米． 例4（2024·广东·模拟预测）我国为了维护对钓鱼岛的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同，当轮船航行到距钓鱼岛的处时，飞机在处测得轮船的俯角是；当轮船航行到处时，飞机在轮船正上方的处，此时．轮船到达钓鱼岛时，测得处的飞机的仰角为．试求飞机的飞行距离（结果保留1位小数）． 【答案】 【详解】解：作，，垂足分别为、， 由题意得：，， 在中，，则，． ，，在中，，即， ．则． 答：飞机的飞行距离为． 模型2.母子模型 例1（2024·山西·模拟预测）百团大战纪念碑（主碑）坐落于山西省阳泉市狮脑山主峰上，雄伟壮观，形如一把锋利的刺刀．某校项目学习小组的同学把“测量百团大战纪念碑（主碑）的高度”作为项目学习课题，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告：    项目课题 测量百团大战纪念碑（主碑）的高度 驱动问题 你如何用所学知识测量百团大战纪念碑（主碑）的高度？ 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 人员分工 测量组：×××    记录组：××× 测量方案 方案一：   说明：如图1，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测点，与点B在同一条水平直线上，且测得.，，，点，，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上 方案二：   说明：如图，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测得的长度和的度数，点，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点，在同一条直线上 方案论证 计算结果 交流展示 项目反思 请根据活动报告，完成下面的问题：(1)根据方案一所测数据，计算百团大战纪念碑（主碑）的高度，（结果精确到；参考数据：，）;(2)根据方案二的测量过程，项目学习小组最终选择方案一进行测量和计算，请你说明他们这样选择的理由． 【答案】(1)百团大战纪念碑主碑的高度约为；(2)纪念碑底部无法到达．（答案不唯一） 【详解】（1）解：如解，延长交于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴，，，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在中，，∴， ∴，答：百团大战纪念碑主碑的高度约为； （2）解：理由：纪念碑底部无法到达．（答案不唯一） 例2（2024·辽宁·模拟预测）朝阳市某中学数学兴趣小组要测量大凌河旁一棵大树的高度，他们第一次在点A测得大树顶端B的仰角为，然后从距A点水平距离为7米高1.6米的平台上的D点处测得树顶端点B的仰角为．依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，结果精确到） 【答案】米 【详解】解：如图所示：过点D作于点G，设米， 在中，，∴米， 又米，∴在矩形中，米，米， 在中，由解得： 经检验，是方程的解． 答：大树的高度约为米． 例3（2025·四川广元·模拟预测）广元市位于四川省北部山地向盆地过渡地带，境内多山川河流．如图，市内一公园依山而建，入口点A处向前走5米有一坡度的斜坡，坡长米，在坡顶C处有一个平台，平台上修建了观景塔可俯瞰江景，，垂足为D，点E，F，D在同一条直线上，，在入口点 A 处看观景塔的塔顶E 的仰角在斜坡 的坡顶C 处看观景塔EF 的塔顶E的仰角，求的长．（结果精确到0.1米．参考数据： 【答案】的长约为35.5 米 【详解】解：如图，过点C作于点G． ∵，∴．又，∴． ∴四边形为矩形．∴．∵， ∵，∴， ∵，∴米．∴米．设为x米，则． ∵，∴米． ∵，即 解得 经检验， 是分式方程的解，且符合实际， （米）．答：的长约为35.5 米． 例4（2024·贵州贵阳·一模）2024年春节来临之际，修文县在县城马路两旁人行道路灯杆上悬挂灯笼喜迎新春．图①是一名工人在一台直臂式高空作业车辅助下在路灯杆上挂灯笼，高空作业车第一次在A处以角方向完全伸出“手臂”后达到点B，此时工人不能到达悬挂灯笼的位置，高空作业车向前平移到达点E，在“手臂”长度保持不变的情况下增大与水平面的夹角，“手臂”顶端刚好与路灯悬挂灯笼位置C平齐，工人顺利挂好灯笼．操作示意图如图②所示，已知，量得，．（参考数据，，） (1)求“手臂”完全伸出时的长度；（结果保留根号） (2)求路灯挂灯笼位置到地面的距离．（结果保留一位小数） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意得：，在中，，， ， “手臂”完全伸出时的长度为； （2）解：由题意得：，，在中，， ，， 路灯挂灯笼位置到地面的距离约为． 例5（2024·安徽宣城·三模）如图，某机器人在一次操作时，将手臂，，依次展开，测得，垂直于地面，，，求操作手臂的最高点到地面的距离（结果保留根号）． 【答案】操作手臂的最高点到地面的距离为． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，由题意得：，，， ，，， ，， 在中，，， 在中，，，， 操作手臂的最高点到地面的距离为． 例6（2024·贵州黔东南·二模）某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．    (1)求点到水平地面的距离．(2)求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 【答案】(1)米；(2)米． 【详解】（1）解：如图所示：延长交于，作于，    在中，，，，∴， 设，则，由勾股定理得， 即，解得，∴，∴点到水平地面的距离米． （2）解：∵，∴四边形是矩形，∴米， 在中，，∴， 在中，，∴， ∴，答：建筑物高约米． 模型3.拥抱模型 例1（2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 【详解】解：由题意，得：，米， 在中，米； 在中，米； 答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 例2（2024·江苏·一模）如图，某校教学楼（矩形）前是办公楼（矩形），教学楼与办公楼之间是学生活动场所（）和旗杆（），教学楼、办公楼和旗杆都垂直于地面，在旗杆底C处测得教学楼顶的仰角为，在旗杆底C处测得办公楼顶的俯角为，已知教学楼高度为，旗杆底部（C）到办公楼底部（B）的距离比到教学楼底部（A）的距离少，求办公楼的高度．（参考数据，，） 【答案】m 【详解】解：设，在中，，∴， 在中，，，∴， ∵，∴，解得，∴办公楼的高度的高度为m． 例3（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，某小山高412米，其斜坡的坡度为，它的前面有一座建筑物．为了测量建筑物的高度，在山顶D和坡底C测的建筑物顶端A的俯角和仰角分别为，．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米，） 【答案】建筑物的高度约为米． 【详解】解：在中，∵米，斜坡的坡度为，∴米， 在中，∵，∴，即, 过A作于H，则， 在中，， ∴，∴． 答：建筑物的高度约为米． 1．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（    ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 【答案】C 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，米， 斜坡的坡度，，设米，则米， 在中，（米， 米，，解得：，米，米， 设米，米， 在中，，米， 在中，，米， ，，解得：， （米，这棵木棉树的高度约为20米，故选：C． 2．（2025·山东东营·中考真题）如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（    ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，米， ∴（米），∴地毯的长度为米．故选：B． 3．（2024·广东·二模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 【答案】C 【详解】解：作于，于， 则四边形为矩形，，，设，则，， 在中，，，则， 在中，，由题意得，， 解得，，即点到的距离约为，故选：C． 4．（2025·上海·中考真题）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为 米．（备用数据：，，，精确到米） 【答案】 【详解】解：过点作于点，则：米， ∵米，∴米， 在中，，∴米；故答案为：． 5．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）． 【答案】/ 【详解】解：依题意，． 在中，， 在中，， ∴．故答案为：． 6．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为 米．（参考数据：，，，） 【答案】74 【详解】解：由题知, ∴,在，∴,∴, 在中，,∴,∴．故答案为：74． 7．（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 ． 【答案】 【详解】解：由题意，作于，于，． ，．． ，．． ∵．，．．． ，四边形是矩形．． 在中，，．故答案为：． 8．（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 【答案】大楼的高度约为． 【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形， ∴，∵，∴， 设，在中，，∴， 在中， ，∴， ∴，∴，∴， 答：大楼的高度约为． 9．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】约为 【详解】解：延长交于点F， 根据题意，得，， 在中，， 在中，， ，解得，， 答：大楼的高度约为． 10．（2024·江苏宿迁·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高；(2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：过点作，垂足为，    由题意可知，四边形是矩形，，， 在中，，， ，支柱的高为． （2）延长交与点，可得，    由题意可知，四边形是矩形，， ．， 在中，，， ，顶棚处离地面的高度约为． 11．（2024·江苏南京·中考真题）如图，港口位于港口的北偏西方向，港口位于港口的北偏东方向，港口位于港口的北偏东方向．一艘海轮从港口出发，沿正北方向航行．已知港口到航线的距离为，求港口到航线的距离．（参考数据：．） 【答案】港口到航线的距离约为 【详解】解：如图，设交航线于点，过点作于点，过点作于点， 则，由题意知：， ∵，∴， ∵，∴， 设，∵，∴， ∵， ∴，∴， 即，解得：，答：港口到航线的距离约为． 12．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，∴，由题意可知，， 在中，，∴， 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，，∴， ∴是等腰直角三角形，∴， ∴， 答：线段的长度为． 13．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：） 【答案】楼的高度为米． 【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形， ∴，，由题意知，， ∴，∴， ∴楼的高度为米． 14．（2024·海南海口·模拟预测）河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡度的斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米． (1) ， ．(2)求点到直线的距离； (3)求桥墩的高（结果保留位小数）．（，，，） 【答案】(1)，(2)24米(3)米 【详解】（1）解：如图，延长交于点E，过点C作于点F，则，，， ∴．∴， 在中，，即，∴；故答案为：，； （2）解：在中，，米，∴米； （3）解：在中，，米，∴米， 由（1）得：米，∵米，∴米， 在中，，∴米， ∴米，即桥墩的高为米． 15．（2024·江西·中考真题）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长；(2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 【答案】(1)“大碗”的口径的长为；(2)“大碗”的高度的长为． 【详解】（1）解：∵，，， ∴四边形是矩形，∴， 答：“大碗”的口径的长为； （2）解：延长交于点，如图， ∵矩形碗底，∴，∴四边形是矩形， ∵，∴，， ∴，∴， ∴，答：“大碗”的高度的长为． 16．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，某数学活动小组用高度为米的测角仪，对垂直于地面的建筑物的高度进行测量，于点C．在B处测得A的仰角，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至处，于点G，测得A的仰角，的延长线交于点E，求建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：） 【答案】17.5米 【详解】解：根据题意可知四边形是矩形，．如图，． ，． ，．（米） 答：建筑物的高度约为米． 17．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，在载人飞船发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达B处，此时测得仰角为． (1)求点A离地面的高度；(2)求飞船从A处到B处的平均速度．（结果不取近似值） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意知，，，，， ∴，∴点A离地面的高度为； （2）解：由题意知，，∴， ∴，∴，∴飞船从A处到B处的平均速度为 ． 18．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，先将无人机垂直上升至距水平地面的点P处，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点Q处，测得奇楼底端B的俯角为．（结果精确到，参考数据： ）．(1)求的长度；(2)求奇楼的高度．    【答案】(1)(2)奇楼的高度约为 【详解】（1）解：延长交的延长线于点C，则，．    在中，，则，∴ （2）解：∵，， 在中，，， ， ，即奇楼的高度约为． 19.（2024·江苏徐州·模拟预测）如图1，徐州云龙山是国家5A级景区，它既有自然风光，又有人文景观．小明沿图2所示的路线图登顶云龙山，他从山脚A出发；沿行走166米到达点B，再沿到山顶点C．已知山高为142米，从点A看点B的仰角为，从点B看点C的仰角为．求小明从山脚点A到达山顶点C共走了多少米？（结果精确到1米）． （参考数据：，，） 【答案】． 【详解】解：过点B作，垂足为F，过点B作，垂足为G．如图， 则，．在中，，，∴． ∵，∴． 在中，．∴． 答：小明从山脚点A到达山顶点C共走了． 20．（2024·四川·校考一模）如图，电视塔是西安市的标志性建筑之一，学习测量后，小强想测量其高度如图，他先在电视塔附近一楼房的底端点处观测电视塔顶点处的仰角是，然后爬到该楼房顶端点处观测电视塔底部处的俯角恰好是，已知楼房高为米，根据以上观测数据，请你求出电视塔的高度（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】电视塔的高度约为米 【详解】解：爬到该楼房顶端点处观测电视塔底部处的俯角是，， 在中，，，即，解得，， 在电视塔附近一楼房的底端点处观测电视塔顶点处的仰角是，． 在中，． 答：电视塔的高度约为米． 21．（2024·广东深圳·模拟预测）某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为．(1)求坡顶到地面的距离；(2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)10米(2)25米 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 斜坡的坡度为，设米，则米， 在中，（米）， 米，，， 米，米，坡顶到地面的距离为米； （2）解：延长交于点， 由题意得：，∴四边形是矩形， 由（1）得米，米，则米，， 设米，则米， 在中，，（米）， 米，在中，， ，，，解得：， （米），联通信号发射塔的高度约为米． 22．（2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差；(2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴，答：两滑梯高度差为 （2）解：在中 ，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴答：长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $