第4章 专项9 相似三角形的性质与判定的应用（PPT课件）-【勤径学升】2023-2024学年九年级上册数学同步练测（北师大版）

九年级数学 北师版（上册） 第四章　图形的相似 专项9　相似三角形的性质与判定的应用 利用相似三角形求线段的长　　 (1)证明与要求的线段有关的三角形相似； (2)利用相似三角形的对应边成比例，将已知线段和未知线段都放在比例式中，建立等量关系求出未知线段的长． 如图，F为四边形ABCD的边CD上一点，连接AF并延长交BC的延长线于点E，已知∠D＝∠DCE. (1)求证：△ADF∽△ECF； (2)若四边形ABCD为平行四边形，BC＝6，AF＝2EF，求CE的长． (1)证明：∵∠D＝∠DCE，∠AFD＝∠EFC， ∴△ADF∽△ECF. (2)解：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝6. 由(1)知△ADF∽△ECF，∴ eq \f(AF,EF) ＝ eq \f(AD,EC) ， ∵AF＝2EF，∴ eq \f(6,CE) ＝2，∴CE＝3. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB. (1)求证：△BDE∽△EFC； (2)设 eq \f(AF,FC) ＝ eq \f(1,2) . ①若BC＝12，求线段BE的长； ②若△EFC的面积是20.求△ABC的面积． (1)证明：因为DE∥AC，所以∠BED＝∠C. 因为EF∥AB，所以∠B＝∠FEC， 所以△BDE∽△EFC. (2)解：①因为EF∥AB，所以 eq \f(BE,EC) ＝ eq \f(AF,FC) ＝ eq \f(1,2) ， 又因为BC＝12，所以BE＝ eq \f(1,3) BC＝4. ②由EF∥AB，易得△EFC∽△BAC. 因为 eq \f(AF,FC) ＝ eq \f(1,2) ，所以 eq \f(CF,AC) ＝ eq \f(2,3) . 设△EFC的面积为S1，△ABC的面积为S， 则 eq \f(S1,S) ＝ eq \f(4,9) . 因为S1＝20，所以S＝45， 所以△ABC的面积是45. 利用相似三角形证明比例式、等积式　　 (1)利用图中的相似三角形； (2)作平行线，构造相似三角形或利用平行线分线段成比例； (3)利用中间比． 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(DF,CG) . (1)求证：AC平分∠BAC； (2)求证： eq \f(EF,BG) ＝ eq \f(DF,CG) . 证明：(1)∵∠DAE＋∠AED＋∠ADE＝180°， ∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∠AED＝∠B， ∴∠ADE＝∠C， 又∵ eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(DF,CG) ，∴△ADF∽△ACG， ∴∠DAF＝∠CAG，∴AG平分∠BAC. (2)∵∠AED＝∠B，∠EAF＝∠BAG， ∴△AEF∽△ABG，∴ eq \f(EF,BG) ＝ eq \f(AF,AG) . 由(1)知△ADF∽△ACG， ∴ eq \f(DF,CG) ＝ eq \f(AF,AG) ，∴ eq \f(EF,BG) ＝ eq \f(DF,CG) . 如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝BF，CE与AF相交于点G. (1)求证：∠FGC＝∠B； (2)延长CE与DA的延长线交于点H， 求证：BE·CH＝AF·AC. 证明：(1)∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC， 又∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°. 在△ABF和△CAE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CA，,∠B＝∠CAE，,BF＝AE，)) ∴△ABF≌△CAE(SAS)，∴∠BAF＝∠ACE， ∴∠FGC＝∠GAC＋∠ACG＝∠GAC＋∠BAF＝∠BAC＝60°， ∴∠FGC＝∠B. (2)∵四边形ABCD为菱形， ∴∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠BCE＝∠H， ∴△BCE∽△DHC，∴ eq \f(BE,DC) ＝ eq \f(CE,HC) . 由(1)知△ABF≌△CAE，∴CE＝AF. ∵CA＝CB＝CD，∴ eq \f(BE,AC) ＝ eq \f(AF,HC) ， ∴BE·CH＝AF·AC. $