第1章 专项3 特殊平行四边形中的动点问题（PPT课件）-【勤径学升】2023-2024学年九年级上册数学同步练测（北师大版）

九年级数学 北师版（上册） 第一章　特殊平行四边形 专项3　特殊平行四边形中的动点问题 (邢台期末)如图①，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝11 cm，点P从点D出发向终点A运动，同时点Q从点B出发向终点C运动．当P，Q两点中任意一点到达终点时，另一点随之停止运动，点P，Q的速度分别为1 cm/s，2 cm/s，连接PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为t s. (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (2)如图②，若点E为边AD上一点，当AE＝3 cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 解：(1)由题意可得DP＝t cm，BQ＝2t cm，则AP＝(11－t)cm.若四边形ABQP是矩形，则AP＝BQ， ∴11－t＝2t，解得t＝ eq \f(11,3) .故当t＝ eq \f(11,3) 时，四边形ABQP是矩形． (2)由题意，得PE＝(8－t)cm，CQ＝(11－2t)cm，CP2＝CD2＋DP2＝16＋t2.若四边形EQCP为菱形，则CP＝PE＝CQ，∴t2＋16＝(8－t)2＝(11－2t)2，∴t＝3.故当t＝3时，四边形EQCP为菱形． (茂名茂南区三校联考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6 cm，BD＝8 cm，过点B，C分别作AC，BD的平行线相交于点E. (1)判断四边形BOCE的形状并证明； (2)点G从点A出发沿线段AC的方向以2 cm/s的速度运动了t s，连接BG.当S△ABG＝2S△OBG时，求t的值． 解：(1)四边形BOCE是矩形．证明如下： ∵BE∥OC，EC∥OB， ∴四边形BOCE是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°，∴四边形BOCE是矩形． (2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝6 cm，BD＝8 cm，∴OA＝OC＝3 cm，OB＝OD＝4 cm. ∵S△ABG＝2S△OBG，∴AG＝2OG， ∴2t＝2(3－2t)或2t＝2(2t－3)， 解得t＝1或t＝3. (宁波鄞州区检测)已知点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上运动(点P不与B，C重合)，且∠PAQ＝∠B. (1)如图①，若AP⊥BC，求证：AP＝AQ； (2)如图②，若AP与BC不垂直，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD. ∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ＋∠C＝180°， ∴∠APC＋∠AQC＝180°. ∵AP⊥BC，∴∠APC＝90°，∴∠AQC＝90°. 在△APB和△AQD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠APB＝∠AQD，,∠B＝∠D，,AB＝AD，)) ∴△APB≌△AQD(AAS)，∴AP＝AQ. (2)解：若AP与BC不垂直，(1)中的结论还成立．证明如下： 如答图，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F. 由(1)可得∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE＝AF， ∴∠EAP＝∠FAQ. 在△AEP和△AFQ中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEP＝∠AFQ，,AE＝AF，,∠EAP＝∠FAQ，)) ∴△AEP≌△AFQ(ASA)，∴AP＝AQ. 在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上的一个动点(不与点A，O重合)，过点P作PE⊥PB，交边CD于点E. (1)如图①，求证：PE＝PB； (2)如图②，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出PF的长；若变化，请说明理由； (3)用等式表示线段PC，PA，EC之间的数量关系. (1)证明：如答图①，过点P作MN∥AD，分别交AB于点M，交CD于点N.∵PB⊥PE，∴∠BPE＝90°. ∴∠MPB＋∠EPN＝90°. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝90°. ∵AD∥MN，∴∠BMP＝∠BAD＝∠PNE＝∠D＝90°， ∴∠MPB＋∠MBP＝90°，∴∠EPN＝∠MBP. 在Rt△PNC中，∠PCN＝45°， ∴△PNC是等腰直角三角形， ∴PN＝CN，∴BM＝CN＝PN. 在△BMP和△PNE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PBM＝∠EPN，,BM＝PN，,∠BMP＝∠PNE，)) ∴△BMP≌△PNE(ASA)，∴PB＝PE. 图①　　　　图② (2)解：在点P运动的过程中，PF的长度不发生变化．如答图②，连接OB.∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，∴OB⊥AC，∴∠AOB＝90°， ∴∠OBP＋∠BPO＝90°.∵∠BPE＝