第2章 专项5 一元二次方程的根的判别式的热门考向（word练习）-【勤径学升】2023-2024学年九年级上册数学同步练测（北师大版）

判断一元二次方程根的情况　　 (滨州中考)对于任意实数k，关于x的方程x2－(k＋5)x＋k2＋2k＋25＝0的根的情况为(　　) A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定 (荆州中考)定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有[m，p]※[q，n]＝mn＋pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5＋3×4＝22.若关于x的方程[x2＋1，x]※[5－2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是(　　) A．k<且k≠0 B．k≤ C．k≤且k≠0 D．k≥ 已知关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0. (1)判断方程的根的情况； (2)若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值. 求代数式的值或字母的取值范围　　 已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m的值． 解决实际问题　　 如图，在一个边长为32 cm的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉的部分)，剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)，且折成的长方体盒子表面积是864 cm2，设小正方形的边长为x cm. (1)请用x表示长方体的底面长和宽； (2)长方体盒子的体积为多少？ 5题图 　 　 与几何知识的综合　　 已知a，b，c是△ABC的三边长，且关于a的方程x2＋2(a－b)x－(a2＋b2－c2)2＝0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状． 已知关于x的一元二次方程x2－mx＋m－1＝0. (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是该方程的两个实数根． ①当平行四边形ABCD是矩形，且m＝5时，求矩形的面积； ②当m取何值时，平行四边形ABCD是菱形？并求菱形的边长． 与一次函数的综合　　 某区域旅游吸引了大量中外游客前来参观，如果游客过多，拥堵等问题会产生不利影响，但也要保证一定的门票收入，因此景区采取了上浮门票价格的方法来控制旅游人数．在该方法实施过程中发现：每周旅游人数y(万人)与票价x(元/人)之间存在如图所示的一次函数关系．在这种情况下，如果要保证每周3 000万元的门票收入，那么每周限定的旅游人数是多少？门票价格应是多少？ 8题图 　　　 　　　　　　 　　　　　 　　 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项5　一元二次方程的根的判别式的热门考向 1．B　[解析]根据题意，得Δ＝[－(k＋5)]2－4××(k2＋2k＋25)＝－k2＋6k－25＝－(k－3)2－16, 因为不论k为何值，－(k－3)2≤0，即Δ＝－(k－3)2－16<0都成立，所以方程没有实数根． 2．C　[解析]根据题意，得k(x2＋1)＋(5－2k)x＝0，整理，得kx2＋(5－2k)x＋k＝0，因为方程有两个实数根，所以k≠0且Δ＝(5－2k)2－4k2≥0，解得k≤且k≠0. 3．解：(1)因为Δ＝(－m)2－4×(2m－4)＝m2－8m＋16＝(m－4)2.因为(m－4)2≥0，所以方程总有两个实数根． (2)解：方程2－mx＋2m－4＝0可变形为 (x－2)(x－m＋2)＝0， 解得x1＝2，x2＝m－2， 若方程有一个根为负数，则m－2<0， 所以m<2，又因为m为正整数，所以m＝1. 4．解：由题意，得Δ＝(2m－1)2－4×1×4＝0， 即(2m－1)2＝16， ∴2m－1＝－4或2m－1＝4， 解得m1＝－ ，m2＝. 5．解：(1)小正方形的边长为x cm，正方形的边长为32 cm，所以长方体的底面长为(32－2x) cm，宽为＝(16－x) cm. (2)长方体盒子的体积为1 152 cm3. 6．解：根据题意，得Δ＝4(a－b)2＋4(a2＋b2－c2)2＝0， ∴(a－b)2＋(a2＋b2－c2)2＝0， ∴a－b＝0且a2＋b2－c2＝0， 即a＝b且a2＋b2＝c2， ∴△ABC为等腰直角三角形． 7．(1)证明：∵Δ＝m2－4(m－1)＝m2－4m＋4＝(m－2)2≥0， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根． (2)解：①当m＝5时，x2－5x＋4＝0， 解得x1＝1，x2＝4， ∴AB，AD的长分别为1，4或4，1， ∴矩形的面积为AB·AD＝1×4＝4. ②∵平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD， ∴Δ＝0，即(m－2)2＝0，解得m＝2， ∴当m＝2时，平行四边形ABCD是菱形， 此时方程为x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1， ∴菱形的边长为1. 8．解：设每周旅游人数y与票价x之间的一次函数关系式为y＝kx＋b，把(150，25)， (200，20)代入y＝kx＋b，得解得 所以y＝－0.1