第1章 专项2～3 特殊平行四边形中的折叠问题 动点问题（word练习）-【勤径学升】2023-2024学年九年级上册数学同步练测（北师大版）

菱形的折叠问题　　 (河南信阳校级期末)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为(　　) 1题图 A．30° B．45° C．60° D．75° 矩形的折叠问题　　 已知将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，其中点E，F分别在AB，CD上，点D的对应点为点G，连接AF. (1)如图①，求证：四边形AECF为菱形； (2)如图②，若∠CFG＝60°，连接AC交EF于点O，连接DO，GO，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中所有的等边三角形. 正方形的折叠问题　　 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交干点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，求点M到CD的距离． 3题图 (邢台期末)如图①，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝11 cm，点P从点D出发向终点A运动，同时点Q从点B出发向终点C运动．当P，Q两点中任意一点到达终点时，另一点随之停止运动，点P，Q的速度分别为1 cm/s，2 cm/s，连接PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为t s. (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (2)如图②，若点E为边AD上一点，当AE＝3 cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． (茂名茂南区三校联考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6 cm，BD＝8 cm，过点B，C分别作AC，BD的平行线相交于点E. (1)判断四边形BOCE的形状并证明； (2)点G从点A出发沿线段AC的方向以2 cm/s的速度运动了t s，连接BG.当S△ABG＝ 2S△OBG时，求t的值． 2题图 (宁波鄞州区检测)已知点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上运动(点P不与B，C重合)，且∠PAQ＝∠B. (1)如图①，若AP⊥BC，求证：AP＝AQ； (2)如图②，若AP与BC不垂直，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上的一个动点(不与点A，O重合)，过点P作PE⊥PB，交边CD于点E. (1)如图①，求证：PE＝PB； (2)如图②，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出PF的长；若变化，请说明理由； (3)用等式表示线段PC，PA，EC之间的数量关系. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项2　特殊平行四边形中的折叠问题 1． D　[解析]连接BD，设C′D与AB的交点为P，如答图，四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD.∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°.∵DC′是AB的垂直平分线，∴P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°.在△DEC中，∠DEC＝180°－(∠CDE＋∠C)＝75°.故选D. 1题答图 2．(1)证明：由折叠性质，得AE＝CE，AF＝FC，∠AEF＝∠CEF.∵四边形ABCD为矩形，∴AE∥CF， ∴∠AEF＝∠EFC.∵∠AEF＝∠FEC， ∴∠FEC ＝∠EFC，∴CE＝CF. ∵AE＝CE，∴AE＝CF. ∵AF＝FC，∴AE＝CE＝CF＝AP， ∴四边形AECF为菱形． (2)解：等边三角形为△AEF，△CEF，△AOD，△COG.理由如下： ∵∠CFG＝60°，∴∠DFA＝60°，∠CFA＝120°. ∵四边形AECF是菱形， ∴AO⊥EF，AO＝OC，AF＝FC＝CE＝AE，∠AFE＝∠CFE＝60°，∴△AEF和△CEF是等边三角形， ∴∠DAF＝∠DAB－∠FAE＝30°，∠FAO＝30°， ∴∠DAO＝60°.∵∠ADC＝90°，∴OD＝AC＝OA， ∴△AOD是等边三角形．∵CG＝AD＝OC，OG＝AC，∴CG＝OC＝OG，∴△COG是等边三角形． 3．解：如答图，过点M作MH⊥CD于H. ∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，∴∠CDF＝∠ODF. ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠ODC＝45°，∴OM＝HM.∵CD＝2，∴OD＝， ∴S△CDO＝S△ODM＋S△CDM， ∴××＝××OM＋×2×MH， 解得MH＝2－.所以点M到CD的距离是2－. 3题答图 专项3　特殊平行四边形中的动点问题 1．解：(1)由题意可得DP＝t cm，BQ＝2t cm，则AP＝(11－t)cm.若四边