第1章 专项1 与正方形有关的常考模型（word练习）-【勤径学升】2023-2024学年九年级上册数学同步练测（北师大版）

十字模型　　 (洛阳模拟)在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动． (1)如图①，当点E自D向C、点F自C向B移动时，连接AE和DF，AE，DF交于点P，请写出AE与DF的关系，并说明理由； (2)如图②，当点E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，(1)中的结论还成立吗？(请直接回答“成立”或“不成立”，无需证明) 在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C，D重合)，连接BE. 【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明) 【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G. (1)求证：BE＝FG； (2)连接CM.若CM＝1，则FG的长为________. 【应用】如图③，取BE的中点M，连接CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连接EG，MG.若CM＝3，则四边形GMCE的面积为________. 旋转半角模型　　 ①△AEF≌△AEG；　　　　②EF＝BE＋DF； ③△CEF的周长为2AB 在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，将∠MAN绕点A按顺时针方内旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N. (1)当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时(如图①)，求证：BM＋DN＝MN； (2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图②)，线段BM，DN和MN之间的数量关系是________. 手拉手模型　　 　①△ABE≌△ADG；　　　　②BE⊥DG (日照东港区月考)小明参加数学兴趣小组的探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图①放置．AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上． (1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由； (2)如图②，小明将正方形ABCD绕点A按逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项1　与正方形有关的常考模型 1．解：(1)AE＝DF，AE⊥DF.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°， 又∵DE＝CF，∴△ADE≌△DCF， ∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF. ∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DAE＋∠ADF＝90°.∴∠APD＝90°，∴AE⊥DF. (2)成立． 2．【探究】(1)证明：如答图，将GF平移到AH处，则AH∥GF，AH＝GF.∵GF⊥BE，∴AH⊥BE， ∴∠ABE＋∠BAH＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABH＝∠BCE＝90°， ∴∠ABE＋∠CBE＝90°，∴∠BAH＝∠CBE. 在△ABH和△BCE中， ∴△ABH≌△BCE(ASA)，∴AH＝BE，∴BE＝FG. (2)2 【应用】9 [解析]在Rt△BCE中，∠BCE＝90°，CM是BE边上的中线，∴BE＝2CM＝6.易证△BCE≌△CDG， ∴BE＝CG＝6.又∵ME＝BE＝3，且BE⊥CG， ∴S四边形GMCE＝ME·CG＝×3×6＝9. 3．解：(1)如答图，延长CB至点E，使得BE＝DN，连接AE.易证△ABE≌△ADN，∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN， ∴∠EAN＝∠BAE＋∠BAN＝∠DAN＋∠BAN＝90°. ∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝∠MAN， 又∵AM＝AM，∴△AEM≌△ANM， ∴ME＝MN，即BM＋BE＝MN，∴BM＋DN＝MN. (2)BM＋DN＝MN 4．解：(1)∵四边形ABCD，AEFG均是正方形， ∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE， ∴△ADG≌△ABE，∴∠AGD＝∠AEB. 如答图①，延长EB交DG于点H. ∵∠AGD＋∠ADG＝90°，∴∠AEB＋∠ADG＝90°， ∴∠DHE＝180°－(∠AEB＋∠ADG)＝90°， ∴DG⊥BE. (2)∵四边形ABCD，AEFG均是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE， ∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG， ∴∠DAG＝∠BAE，∴△ADG≌△ABE， ∴DG＝BE.如答图②，过点A作AM⊥DG于点M，则∠AMD＝∠AMG＝90°. ∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠MDA＝45°. 在Rt△AMD中，∠MDA＝45°，AD＝2， 可得DM＝AM＝. 在Rt△AMG中，GM＝＝， ∴DG＝DM＋GM＝＋，∴BE＝DG＝＋. 　 4题答图①　　　4题答图②　 学科网（北京）股份有限公司 $