高中数学选修2-2第1章备课综合：《1.2导数的计算》 (预习+讲解+总结+练习,4份)

导数的计算课程要点解读 一、导数的概念 1．函数的平均变化率 一般地，函数 ， 是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式子 表示，我们把这个式子称为函数 从 到 的变化率(average rate of change)。习惯上用 表示 即 = ，可把 看作是相对于 的一个“增量”，可用 + 代替 ；类似地， ，于是平均变化率可以表示为 。 注意：(1) ，式子中 、 的值可正可负，但 的值不能为零， 的值却可以为零。例如若函数 是常函数时， =0； (2)在式子 中，当 取定值， 取不同的数值时，函数的变化率不同；同样地，当 取定值， 取不同的值时，函数的平均变化率也不相同。 2．瞬时变化率 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫做瞬时速度。用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是 ，当 趋近于0时，函数 在 到 + 之间的平均变化率为 趋近于某一个常数，称这个常数为 时刻的瞬时速度。 注意：(1) 趋近于0是指时间间隔 越来越小，能向零无限趋近，但时终不能为0； (2) ， 在变化率中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数； (3)求瞬时速度的一般步骤：①设非匀速直线运动的规律为： ；②时间改变量 ，位置改变量 ；③求平均速度 ；④求瞬时速度：取 ，得 (常数)。[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:学#科#网] 3．导数的概念 设函数 在 附近有定义，当自变量在 附近改变量为 时，函数值相应地改变量为 。如果当 趋近于0时，平均变化率 趋近于一个常数 ，则这个常数 称为函数 在 处的瞬时变化率，通常称为 在 处的导数，记作 或即 。 注意：(1) EMBED Equation.3 也可以写成 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 等等； (2)由导数的定义可知求 在 的导数一般步骤：①求函数的增量 ；②求平均变化率： ；③取极限，得导数 EMBED Equation.3 。 二．导数的几何意义 1．导数的几何意义 函数 在 的导数 的几何意义就是曲线 在点 处切线的斜率，即 EMBED Equation.3 = 。 注意：(1)利用导数求曲线的切线方各的一般步骤：①求出函数 在 的导数 ； ②根据直线的点斜式方程，求得切线方程 。 (2)若在点 处切线 的倾斜角为 ，此时切线平行于 轴，导数不存在，不能用上方法求切线方程，此时可根据切线的定义直接得出切线方程 。 2．导函数 如果函数 在开区间内每一点 处均可导，则称 在区间( )内可导。在区间( )内， 构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 的导函数，简称为导数。 注意：(1)函数在一点处的导数，就是该点的函数值的改变量与自变量改变量比值的极限，它是一个常数；(2)函数的导函数是对于某一区间内的任意一点 而言的，随着 在区间内的取值的不同，其对对应的导数也不相同；(3) 函数 在 的导数 ，就是导函数 在 = 处的函数值。 三．导数的计算 1．基本初等函数的导数公式 (1)若 EMBED Equation.3 ，则 0； (2)若 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 ； (3)若 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 (4)若 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 ； (5)若 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 ；(6)若 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 ； (7) 若 EMBED Equation.3 ，则 ；(8)若 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 注意：(1) 以上八个基本初等函数的导数公式要求记熟并能熟练运用； (2)在今后的求导运算时，只要不强调利用定义求导数，以上公式可直接应用而不加以证明。 2．导数的运算法则 (1) ；(2) ； (3) 注意：上述公式的记忆口诀：(1)和差导，导和差；(2)前导后不导，后导前不导，中间是加号；(3)分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是减号。 3．复合函数的求导法则[来源:Zxxk.Com] 复合函数 的导数与函数 的导数间的关系是 。 注意：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当地选择中间变量；[来源:Zxxk.Com] (2)分步计算中的每一步都要明确是寻哪个变量进行求导，其要特别注意的是中间变量的系数； (3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间量