高中数学选修2-2第1章备课综合：《1.3-1.4导数的应用》 (预习+讲解+总结+练习,4份)

导数的应用要点讲解 导数的在函数中的应用主要包含两方面：一是在求函数的极值、最值中的应用；二是在解最优化问题中的应用。下面针对这两个要点分别进行讲解。 一、在求函数的极值、最值中的应用[来源:Zxxk.Com] 若函数在 处取得极值，则 ；而在导数值为零处可求出极值点.对于闭区间上的连续函数则一定存在着最大值和最小值，可通过对极值点处和端点处的函数值进行比较得到函数的最值，以于开区间若函数有且仅有一个极值点（单峰函数），此极值即为函数的最值.因此一般利用导数求函数的极值或最值要经过三步，一．函数求导数，二．求极值点，三．求极值或最值. 例题： 已知函数 有极大值和极小值，求 的取值范围. 分析：这是一个导数在求函数极值．最值中的应用问题，这类问题一般分两个方面，一是直接求极值．最值，另一类是已知极值、最值求函数或变量的范围，本题属于第二类问题.破解的方法其实是一样的三步，即求导、求极值、求最值. 解析：对函数求导得， EMBED Equation.DSMT4 ，要使函数有极大值和极小值，则导函数与 轴有两个交点，因此 ，整理可得 ， 因此 的取值范围为 . 点评：这在问题在学习时要做到举一反三，加强训练，既要学会从正面求极值．最值，又要学会从反面求函数或变量的范围，做到以不变应万变. 二、最优化问题 导数是探讨数学乃至自然科学的重要的、最有效的工具，它也给出了我们生活中很多问题的答案，诸如用料最省、容量最大、亮度最强等，本文将介绍用导数求解生活中几个常见问题，供参考．[来源:学*科*网] 1．用料最省问题 例1 要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为 ，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？[来源:Zxxk.Com] 解析：欲使材料最省，实际上是使表面积最小，设直径为d，高为h，表面积为S，由 ，得 ． 又 ，而 ． 令 ，即 ，得 ，此时 ． 时， ； 时， ， 所以，当 ， 时，用料最省． 点评：用料最省、造价最低一般都是与表面积有关，此类问题的求解思路是找到变量之间的关系，再借助关系列出函数式，然后通过导数予以求解． 2．流量最大问题[来源:学科网ZXXK] 例2 用宽为a、长为b的三块木板，做成一个断面为梯形的水槽（如图）．问斜角?兹多大时，水槽的流量最大？最大流量是多少？ 解析：槽的流量与槽的横截面面积有关，横截面面积越大，槽的流量就越大，因此，求槽的流量最大，其实就是求横截面面积的最大值．设横截面面积为 ，则 ． 由于 ， ， 因此 ． 又 ， 令 ，即 ， 得 或 ． 由于 ，得 ， 那么 ，此时 ． 当 时， ；当 时， ，[来源:Z§xx§k.Com] 所以，当 时，横截面的面积最大；此时，槽的流量最大． 点评：流量最大、横梁的强度最大等都与横截面的面积有关，而面积又往往与三角联系在一起，根据题目条件找出各量之间的关系是求解此类问题的关键． � $$ 导数的应用预习 导数在研究函数中的应用 一、知识梳理 1.单调性：若f（x）在某个区间(a,b)内可导，当f′(x)＞0时，f（x）在这个区间内为__ 函数；当f′(x)＜0时，f(x) 在这个区间内为 函数. 由f′(x)>0解得f(x)的增区间；由f′(x)<0解得f(x)的减区间.[来源:Zxxk.Com] 2极值的定义： （1）．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点和极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3.求极值的方法：当函数 f(x) 在点 x0 处连续时，由 f′(x0) =0求得x0: （1）如果在 x0附近的左侧 f’(x)>0 ，右侧f’(x) <0 ，那么 f(x0) 是极大值． （2）如果在x0附近的左侧 f’(x) <0 ，右侧f’(x) >0 ，那么 f(x0) 是极小值． 4.求函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值与最小值的步骤: (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 二、基础自测 ） ( ) EMBED