高中数学选修2-2第2章备课综合：《2.3数学归纳法》 (预习+讲解+总结+练习,4份)

数学归纳法要点讲解 数学归纳法是用于证明与正整数 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位． 1．数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法 设 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当 （ ）时， 成立； ②假设 成立，由此推得 时， 也成立，那么，根据①②对一切正整数 时， 成立．[来源:Z_xx_k.Com] （2）第二数学归纳法 设 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当 （ ）时， 成立；[来源:Z|xx|k.Com] ②假设 成立，由此推得 时， 也成立，那么，根据①②对一切正整数 时， 成立． 2．数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法 ①当 时， 成立， ②假设 时 成立，由此推得 时， 也成立，那么，根据①②对一切正整数 时， 成立． （2）反向数学归纳法 设 是一个与正整数有关的命题，如果 ① 对无限多个正整数 成立； ②假设 时，命题 成立，则当 时命题 也成立，那么根据①②对一切正整数 时， 成立． 3．应用数学归纳法的技巧 （1）起点前移或后移：有些命题对一切大于等于1的正整数 都成立，但命题本身对 也成立，而且验证起来比验证 时容易，因此用验证 成立代替验证 ，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．而有些命题在第一步证明中，不仅要证明时原不等式成立，还要证明当时，原不等式也成立． 　例1　已知，求证：． 　　分析：可结合不等式关系：来证明，但注意要将奠基的起点后移，即在第一步证明中，不仅要证明时原不等式成立，还要证明当时，原不等式也成立． 　　证明：（1）当时，原不等式显然成立， 　　当时，不等式左边，[来源:学科网] 　　右边，则左边＞右边， 　　∴当时，原不等式成立． www.ks5u.com 　　（2）假设当时，成立，[来源:Z_xx_k.Com] 则时， 　　 ． 　　所以当时原不等式也成立． 　　由（1）和（2），可知原不等式对任何都成立． （2）起点增多：有些命题在由 向 跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点． （3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多． 例2　试证：任何一个正方形都可以分割成5个以上的任意多个正方形． 　　 分析：一个正方形分割成4个正方形是很容易的．由此猜想：若能把一个正方形分割成k个正方形，则必能分割成个正方形．故第一步应对的情形加以验证．第二步，则只需从k递推到k+3． 　　证明：（1）当时，由以下各图所示的分割方法知，命题成立． 　　（2）假设当时命题成立，即一个正方形必能分割成k个正方形．那么，只要把其中任意一个正方形两组对边的中点分别连结起来，即把该正方形再分割成4个小正方形，则正方形的个数就增加了3个．因而原正方形就分割成了个正方形，即当时命题也成立． 　　因为任何一个大于5的自然数n都可以表示成中的一种形式，所以根据（1）和（2），可知命题对任何大于5的自然数n都成立． （4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设 时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用． （5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明． 例3　已知，定义，且．试证明：对一切，都有． 　　分析：显然有，但若假设，则很难由递推公式推得．为此，必须知道小于什么数值才行． 　　其实，要使，即，只须．所以本题可转化为证明如下更强的不等式： 　　．① 　　证明：（1）当时，显然有． 　　又因为， 　　所以． www.ks5u.com 　　（2）假设当时，成立，则有 　　， 　　， 　　所以，即当时不等式①也成立． 　　由（1）和（2），可知对任何，不等式①都成立，从而原命题获证． 4．归纳、猜想和证明[来源:学,科,网Z,X,X,K] 在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法． $$ 高考资源网 数学归纳法应用中的四个常见错误总结 数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法.证明时，它的两个步骤：归纳奠基和归纳递推缺一不可.使用数学归纳法解决问题易出现的四类错误：（1）初始值确定的错误；（2）对项数估算的错误；（3）没有利用归纳递推；（4）关键步骤含糊不清.现举例如下： （1） 初始值估计的错误.归纳奠基是归纳的基础，是数学归纳法