第22章 专项3 二次函数的最值问题&专项4 二次函数的存在性问题（word练习）-【勤径学升】2023-2024学年九年级上册数学同步练测（人教版）

线段最值问题　　 (合肥庐阳区期中)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－6，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，6)，直线AD：y＝mx＋2与该抛物线交于点A，D，作y轴的平行线分别交抛物线、直线AD和x轴于点P，Q，R，点R位于点O，A之间． (1)求抛物线和直线AD的解析式； (2)求线段PQ的最大值； (3)连接PC，设AD与y轴交于点E，若四边形PCEQ是平行四边形，求点P的坐标． 三角形周长最值问题　　 (山东潍坊期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象经过A(－2，0)，B(2，2)，C(0，2)三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当D点坐标为何值时，△ACD的周长最小． 三角形面积最值问题　　 (东莞模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(1，0)，B(3，0)，C(0，6)三点，直线y＝2x＋b′经过点A，交抛物线于点D. (1)求抛物线的解析式； (2)点E在线段AD上，且满足S△BDE＝2S△ABE，点F在x轴下方的抛物线上，设点F的横坐标为t，当t为何值时，△FBE的面积最大？请求出最大值． 如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3). (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0). (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)该抛物线上有一点D(x，y)(不与点A重合)，使得S△ABC＝S△DBC，求点D的坐标． (陕西中考)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l. (1)求该抛物线的解析式； (2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标． (娄底娄星区模拟)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求△BCD的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项3　二次函数的最值问题 1．解：(1)∵抛物线经过点A(－6，0)，B(3，0)，C(0，6)， ∴解得 故抛物线的解析式为y＝－x2－x＋6. ∵直线AD经过点A(－6，0)， ∴－6m＋2＝0，解得m＝. 故直线AD的解析式为y＝x＋2. (2)设点P的坐标为(－6<t<0)， 则点Q的坐标为. 由题意，得PQ＝－＝－t2－t＋4＝－(t＋2)2＋， ∴当t＝－2时，PQ有最大值，最大值为. (3)∵AD与y轴交于点E，∴E(0，2)，∴CE＝4. 若四边形PCEQ是平行四边形，则PQ＝CE， 即－(t＋2)2＋＝4. 解得t＝－4或t＝0(舍去). 当t＝－4时，－t2－t＋6＝， 故点P的坐标为. 2．解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 将A(－2，0)，B(2，2)，C(0，2)三点的坐标代入，得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2. (2)如答图，设二次函数图象与x轴的另一个交点为E. ∵抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2， ∴对称轴为直线x＝1. ∵抛物线与x轴的一个交点为A(－2，0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点为E(4，0). 连接CE，与对称轴x＝1交于点D，点D即为所求． 设直线CE的解析式为y＝kx＋t(k≠0).将C(0，2)，E(4，0)代入，得解得 ∴直线CE的解析式为y＝－x＋2. 当x＝1时，y＝，∴点D的坐标为， ∴当D点坐标为时，△ACD的周长最小． 3．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1，0)，B(3，0)， ∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3). 把点C(0，6)代入，得a(0－1)(0－3)＝6， ∴a＝2， ∴抛物线的解析式为y＝2(x－1)(x－3)＝2x2－8x＋6. (2)∵直线y＝2x＋b′过点A(1，0)， ∴2＋b′＝0，∴b′＝－2， ∴直线AD的解析式为y＝2x－2. 由解得或 ∴D(4，6). ∵A(1，0)，B(3，0)，∴AB＝2， ∴S△ABD＝×2×6＝6. 设点E(m，2m－2)，