6.2.4向量的数量积教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课题 6.2.4向量的数量积 教学目标 （一）知识与技能 1.理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角，提高抽象概括能力； 2.知道平面向量数量积的含义并会计算； 3.理解a在b上的投影向量的概念，并且掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用； （二）过程与方法 掌握平面向量的数量积的5条重要性质及运算律，并能运用这些性质解决有关问题；，从而养成科学的学习方法。 （三）情感、态度与价值观 通过平面向量的数量积的概念，几何意义，重要性质及运算律的应用，培养学生的应用意识，从而进一步增加学习数学的热情，提高学习数学的兴趣。 教学重、难点 重点：充分条件、必要条件的概念. 难点：判断命题的充分条件、必要条件. 教学方法 指导学生掌握“观察-猜想-归纳-应用”这一思维 方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动， 课型 新授课 教学过程 （一）创设情境，引入新课 预习教材内容，思考以下问题： 1．什么是向量的夹角？ 2．数量积的定义是什么？ 3．投影向量的定义是什么？ 4．向量数量积有哪些性质？ 5．向量数量积的运算有哪些运算律？ （二）探索新知，整体认知 探究点1：平面向量的数量积运算 例1：（1）已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求（a＋2b）·（a＋3b）． （2）如图，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：①·；②·． 解：（1）（a＋2b）·（a＋3b） ＝a·a＋5a·b＋6b·b ＝|a|2＋5a·b＋6|b|2 ＝|a|2＋5|a||b|cos60°＋6|b|2 ＝62＋5×6×4×cos60°＋6×42＝192． （2）①因为∥，且方向相同， 所以与的夹角是0°， 所以·＝||||·cos0°＝3×3×1＝9． ②因为与的夹角为60°， 所以与的夹角为120°， 所以·＝||||·cos120° ＝4×3×＝－6． 互动探究： 变问法：若本例（2）的条件不变，求·． 解：因为＝＋，＝－， 所以·＝（＋）·（－） ＝2－2＝9－16＝－7． 规律方法：向量数量积的求法 （1）求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键． （2）根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． 探究点2：向量模的有关计算 例2：（1）已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝（ ） A． B．2 C．4 D．12 （2）向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝（ ） A． B． C． D． 解析：（1）|a＋2b|＝＝ ＝ ＝＝2． （2）由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cos60°＝，即1＋|b|2－|b|＝，解得|b|＝． 答案：（1）B （2）B 规律方法：求向量的模的常见思路及方法 （1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． （2）a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． （三）初步应用，理论迁移 探究点3：向量的夹角与垂直 命题角度一：求两向量的夹角 例3：（1）已知|a|＝6，|b|＝4，（a＋2b）·（a－3b）＝－72，则a与b的夹角为________； （2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且（a－b）⊥b，则a与b的夹角为______． 解析：（1）设a与b的夹角为θ，（a＋2b）·（a－3b）＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b ＝|a|2－a·b－6|b|2 ＝|a|2－|a||b|cosθ－6|b|2 ＝62－6×4×cosθ－6×42＝－72， 所以24cosθ＝36＋72－96＝12， 所以cosθ＝． 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝． （2）设a与b的夹角为θ，由（a－b）⊥b，得（a－b）·b＝0，所以a·b＝b2，所以cosθ＝．又因为|a|＝2|b|， 所以cosθ＝＝． 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝． 答案：（1） （2） 命题角度二：证明两向量垂直 例4：已知a，b是非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时，求证：b⊥（a＋tb）． 证明：因为|a＋tb|＝＝＝， 所以当t＝－＝－时，|a＋tb|有最小值． 此时b·（a＋tb）＝b·a＋tb2＝a·b＋·|b|2 ＝a·b－a·b＝0．所以b⊥（a＋tb）． 命题角度三：利用夹角和垂直求参数 例5：（1）已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为（ ） A．－ B． C．± D．1 （2）已知a，b，c为