6.2.4向量的数量积教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 课题 6.2.4《向量的数量积》（第一课时） 课型 新授课 一、内容及其解析 1.内容 向量的数量积是继向量的加法、减法、向量的数乘等线性运算之后又一新的运算，内容包括向量数量积的定义、投影向量、向量数量积的性质、运算律及其应用，既是前面知识的延续，又是后续学习的基础，具有承上启下的作用.研究向量数量积的基本思路和向量线性运算的研究路径具有相似之处，但是向量数量积的运算又具有独特性质.在学习中可以类比向量线性运算的研究思路，从物理背景出发定义向量数量积，从代数和几何两个角度认识向量的数量积.同时，要注意提醒学生将向量线性运算和向量数量积进行对比，准确认识向量数量积的概念和性质. 2. 内容解析 单元知识结构图 内容的本质：向量的概念源于物理学，因此向量的运算也具有相应的物理背景.比如在研究向量加法运算时，类比位移合成引入了向量加法的三角形法则，类比力的合成引入了向量加法的平行四边形法则，通过将向量加法建立在物理背景上认识向量运算.同时，基于向量概念中的方向和大小两个要素，引导学生从方向和大小两个方面认识向量运算和实数运算的区别与联系，加深对向量运算的认识. 在学习向量的线性运算后，再研究向量的数量积是自然的.从研究思路上，借助物理背景定义向量运算的研究模式是一致的.教学中先引导学生回顾研究向量线性运算的过程，归纳“物理背景—定义—性质—应用”的研究路径，明确研究向量数量积的基本思路.然后通过力做功的物理背景引入向量的数量积，通过做功公式，明确研究数量积的前提是定义向量夹角，从而得到向量数量积的概念.值得注意的是向量的线性运算结果仍然是向量，而向量的数量积运算结果是实数，也正是这个不同点沟通了向量和数量之间的关系.在学习中，既要类比向量线性运算的研究思路和方法，又要注意对比和区别. 进一步地，为了理解向量数量积的定义和几何意义，为研究向量数量积的运算律打基础，引入了投影向量的学习.虽然学生在平面几何中学过线段的正投影，但是向量的投影变换需要考虑两个向量的夹角，蕴含着分类讨论、数形结合的数学思想，对学生的几何直观和数学抽象具有较高要求.因此教学中，从向量数量积的定义出发，基于力做功模型中分力的几何意义，引出向量投影的概念.利用信息技术动态展示两个向量夹角在不同范围下的投影向量，观察向量夹角对投影向量方向的影响.基于共线向量定理，学生尝试用向量表示出投影向量，并进一步总结出投影向量的公式.整个过程既有几何直观又有代数推理，体现了从特殊到一般，分类与整合的数学思想，有效提高学生分析和解决问题的能力，发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养. 因为向量既有大小又有方向，在研究向量数量积的性质时，要引导学生从代数、几何两个角度进行认识.通过投影向量研究过程的启发，从向量的要素出发，考察两个向量特殊的位置关系、特殊的大小取值时体现出的性质，并归纳出研究运算性质的一般思路，有利于积累研究数学问题的经验方法，提升了学生的数学核心素养. 2、 学情分析 平面向量数量积是学生在完整学习了向量线性运算的基础上进行的，学生对于向量运算已经有了丰富的研究经验，对其中蕴含的数学思想和方法也有了较为全面的认识，所以教学中要引导学生类比已学知识，明确研究路径，启发学生进行自主探究.学生具有力、功等物理知识的基础，在借助物理背景定义向量数量积的过程中，要充分利用物理模型进行知识迁移，从力的分解角度认识分力做功，为后续学习投影向量做铺垫，认识投影向量和数量积的关系.从力做功的公式出发，从向量运算的视角描述，容易想到需要先定义两个向量的夹角.在明确向量夹角的概念后，再定义向量的数量积就水到渠成了.得到向量数量积的计算公式是容易的，但是要进一步引导学生全面认识向量的数量积.由于学生具有认知惯性，教学中需要提醒学生注意区别向量的线性运算，向量数量积的运算结果是实数而不是向量.虽然向量的数量积是实数，但是两个向量的大小和方向仍然影响着运算结果，通过向量数量积的定义认识到运算结果的大小与向量模长、夹角的关系，也为投影向量的研究打下基础. 在研究投影向量时，需要在分类讨论的基础上进行抽象，对学生几何直观和归纳概括的能力要求较高，具有一定的难度.在教学时要通过“如何确定投影向量的大小和方向”“影响投影向量大小和方向的因素有哪些”等问题引导学生，初步感知投影向量与数量积之间的关系，为第二课时研究向量数量积的运算律打下基础. 研究向量数量积的性质也是一个重难点，由于数量积的运算结果是实数，向量“形”的特点好像消失了.在教学中需要强调向量具有代数和几何的特性，一方面是基于投影向量的概念认识数量积的几何意义，一方面是从代数和几何两个层面研究数量积的性质，体现了从一般到特殊、数形结合的数学思想. 3、 目标及其解析 1.课时目标 （1）通过力做功的物理背景