6.2.4向量的数量积教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

§6.2.4向量的数量积 一、内容和内容解析 内容:向量的数量积. 内容解析:本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节的第四课时内容.教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积,与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义,用途广泛,但与向量的线性运算不同的是,数量积的运算结果是数量而不是向量. 会计算两个向量的数量积,提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式,进而得到数量积的几何意义,提升直观想象,逻辑推理的核心素养. 二、目标和目标解析 目标: (1)通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. (2)通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. (3)会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 目标解析: (1)能从物理中“功”的具体实例中,引出向量的数量积的概念,能依据数量积的概念计算平面向量的数量积,并能像了解实数的运算律一样,通过具体实例了解向量数量积的性质. (2)能从图形中判断向量投影与投影向量,知道向量投影是一种正交变换,并能表示投影向量与原向量之间的关系,能借助向量投影与投影向量体会向量数量积的几何意义. (3)知道两个平面向量的垂直等价于其数量积为零,并能用这一结论进行向量运算. 基于上述分析,本节课的教学重点定为:平面向量数量积的定义,平面向量数量积的运算. 三、教学问题诊断分析 1.教学问题一:两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积,可以解决两向量垂直问题,要深刻理解两向量垂直的充要条件,应用的时候才能得心应手.解决方案:数形结合让学生体验夹角的概念,强调夹角一定是共起点的最小角. 2.教学问题二:向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义,用途广泛.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量,正是这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系.解决方案:强调两个非零向量的数量积是数量,而不是向量,它的值是两个向量的长度与两个向量夹角的余弦的乘积. 3.教学问题三:对于向量的数量积运算,学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响,可能出现一些错误,教师要尽可能地引导学生举一些反例,纠正错误.解决方案:引导学生借助画图、举反例来澄清认识,体会向量运算与实数运算的差异. 基于上述情况,本节课的教学难点定为:数量积的性质及其应用. 四、教学策略分析 本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.数量积的概念既是本节课的重点,也是难点.为了突破这一难点,首先无论是在概念的引入还是应用过程中,物理中“功”的实例都发挥了重要作用.其次,作为数量积概念延伸的性质和运算律,不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念,同时也是进行相关计算和判断的理论依据.最后,无论是数量积的性质还是运算律,都希望学生在类比的基础上,通过主动探究来发现,因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体. 在教学设计中,采取问题引导方式来组织课堂教学.问题的设置给学生留有充分的思考空间,让学生围绕问题主线,通过自主探究达到突出教学重点,突破教学难点. 在教学过程中,重视数量积的概念和运算律,让学生在类比的基础上体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程.因此,本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试. 五、教学过程与设计 教学环节 问题或任务 师生活动 设计意图 创设 情境 引入 新知 [问题1] 我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么? [问题2] 我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的? [问题3] 当力F与运动方向成某一角度时,力F对物体所做的功等于多少呢? 教师1: 提出问题1. 学生1:学生思考. 教师2:提出问题2. 学生2:学生思考.物理模型→概念→性质→运算律→应用. 教师3:提出问题3. 学生3: 使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序,为教学活动指明方向. 探 寻 规 律 ,明确概念 [问题4] 向量的夹角该如何定义?它的范围是什么? [问题5]你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量,其结果又该如何表述? [问题6]向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因素有哪些? 例1.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=,求ab. 例2.设|a|=12,|b|=9,ab=,求a与b的夹角θ. [问题7] 如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则 等于什么?