第三章不等式知识点清单-2022-2023学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

新教材 苏教版2019版 数学必修第一册 第三章知识点清单 目录 第三章　不等式 3. 1 不等式的基本性质 3. 2 基本不等式 3. 3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第三章　不等式 3. 1 不等式的基本性质 一、两实数大小关系的基本事实 1. a>b⇔a-b>0；a=b⇔a-b=0；a<b⇔a-b<0. 二、不等式的基本性质 　性质1：若a>b，则b<a. 　性质2：若a>b，b>c，则a>c. 　性质3：若a>b，则a+c>b+c. 　性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac<bc. 　性质5：若a>b，c>d，则a+c>b+d. 　性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd. 特别地，若a>b>0，则an>bn(n∈N*). 三、比较实数(代数式)的大小 作差比较法 作商比较法 依据 a-b>0⇔a>b； a-b<0⇔a<b； a-b=0⇔a=b a>0，b>0且>1⇒a>b； a>0，b>0且<1⇒a<b 应用范围 作差后可化为积或商的形式 同号两数(式)比较大小 步骤 ①作差； ②变形； ③判断符号； ④下结论 ①作商； ②变形； ③判断商与1的大小关系； ④下结论 变形 技巧 ①分解因式； ②平方后作差； ③配方法； ④分子(分母)有理化 按照同类的项进行分组 2 / 2 四、利用不等式的性质求代数式的取值范围 　　利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”，但这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次进行这种转化后，就有可能扩大真实的取值范围. 解决此类问题，可先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过一次不等关系的运算求得待求式的取值范围. 五、利用不等式的性质证明不等式 　　利用不等式的性质证明不等式的实质就是利用性质对不等式进行变形，变形时，一要考虑已知不等式与未知不等式在运算结构上的联系，二要考虑变形要等价，三要注意性质使用的前提条件. 3. 2 基本不等式 一、两个重要不等式 不等式 变形 等号成立的条件 注意 a2+b2≥2ab ab≤， ab≤ 当且仅当a=b时，等号成立 a，b∈R 基本不等式： ≤ a+b≥2 当且仅当a=b时，等号成立 a，b≥0 二、基本不等式与最值 1. 对于正数a，b (1)和a+b为定值s时，积ab有最大值，当且仅当a=b=时取得最大值； (2)积ab为定值p时，和a+b有最小值，当且仅当a=b=时取得最小值. 2. 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件 　　一正——各项均为正数. 　　二定——和或积为定值. 　　三相等——等号成立的条件. 3. 基本不等式链 已知a，b为正实数，则≥≥≥ (当且仅当a=b时，等号成立)， 其中称为平方平均数， 称为算术平均数， 称为几何平均数， 称为调和平均数. 三、利用基本不等式求无附加条件的最值 1. 利用基本不等式求最值的注意事项 (1)一正：各项必须都是正值. 　　若各项都是正数，则可以直接用基本不等式求最值；若各项都是负数，则可以整体提出负号，化为正数，再用基本不等式求最值；若有些项为正数，有些项为负数，则不可以用基本不等式求最值. (2)二定：各项之和或各项之积为定值. 解决利用基本不等式求最值问题的关键是凑出“和”或“积”为定值，常见的凑项技巧： ①拆(裂项、拆项)：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定值创造条件. ②并(分组并项)：分组后，各组可以单独应用基本不等式或先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值. ③配(配式、配系数)：根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，积式中的各项之和为定值. (3)三相等：必须验证取等号时条件是否成立，若等号不成立，则不能用基本不等式求最大(小)值. 四、利用基本不等式求有限制条件的最值 　　利用基本不等式求有限制条件的最值常见的解法是换(常值代换、变量代换)，首先对条件变形，以进行代换，再构造利用基本不等式求最值的形式. 常用于“已知ax+by=m(a，b，x，y均为正数)，求+的最小值”和 “已知+=m