第六章幂函数、指数函数和对数函数 知识点清单-2022-2023学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

新教材 苏教版2019版 数学必修第一册 第六章知识点清单 目录 第六章　幂函数、指数函数和对数函数 6. 1 幂函数 6. 2 指数函数 6. 3 对数函数 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第六章　幂函数、指数函数和对数函数 6. 1 幂函数 一、幂函数的概念 　　一般地，我们把形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 二、常见幂函数的图象与性质 1. 在同一平面直角坐标系内，画出函数 (1)y=x；(2)y=；(3)y=x2；(4)y=x-1；(5)y=x3的图象如图所示. 2. 常见幂函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 y=x R R 奇 增 y=x2 R [0，+∞) 偶 在[0，+∞)上单调递增， 在(-∞，0)上单调递减 y=x3 R R 奇 增 y= [0，+∞) [0，+∞) 非奇非偶 增 y=x-1 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 在(0，+∞)上单调递减， 在(-∞，0)上单调递减 2 / 2 三、幂函数的共同特性 1. 幂函数y=xα(α为常数)的性质 (1)当α>0时，函数y=xα的图象都过点(0，0)和(1，1)，在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间[0，+∞)上单调递增. (2)当α<0时，函数y=xα的图象都过点(1，1)，在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，+∞)上单调递减. 四、幂函数的图象 1. 根据幂函数在第一象限内的图象可确定幂的指数α与0，1的大小关系.   2. 依据幂函数的图象的高低判断幂的指数的大小，相关结论如下： (1)在x∈(0，1)上，幂的指数越大，幂函数的图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)； (2)在x∈(1，+∞)上，幂的指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”). 五、幂函数性质的应用 1. 幂函数的性质与α的相互确定 　　幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性. 反过来，也可由幂函数的性质去限制α的取值：利用幂函数的单调性求出α的取值范围；由幂函数的奇偶性结合所给条件确定α的值. 2. 利用幂函数的单调性比较大小的方法 (1)直接法：当幂函数中的幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性比较大小； (2)转化法：当幂函数中的幂的指数不同时，可以先转化为相同的幂的指数，再运用幂函数的单调性比较大小； (3)中间量法：当幂函数中的底数和幂的指数均不同时，可选取适当的中间值(通常选用0或1)比较大小. 6. 2 指数函数 一、指数函数的概念 　　一般地，函数y=ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R. 二、指数函数的图象与性质 指数函数 y=ax(a>0，a≠1) a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，+∞) 图象过定点(0，1)，图象在x轴的上方 增函数； 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 减函数； 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 　　注意：指数函数y=ax与y= (a>0，a≠1)的图象关于y轴对称. 2. 指数函数y=ax(a>0，a≠1)的底数a对图象相对位置的影响： ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底大图高”； ②在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底大图低”. 三、指数函数图象的变换 1. 平移变换(a>0，a≠1) (1)左右平移：把y=ax的图象向右平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax-b的图象；把y=ax的图象向左平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax+b的图象. (2)上下平移：把y=ax的图象向上平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax+b的图象；把y=ax的图象向下平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax-b的图象. 2. 对称变换(a>0，a≠1) (1)函数y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称. (2)函数y=ax与y=-ax的图象关于x轴对称. (3)函数y=ax与y=-a-x的图象关于坐标原点对称. 四、比较指数幂的大小 1. 指数幂比较大小的类型及方法 (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性进行判断. (2)底数不同，指数相同： ①利用底数不同的指数函数的图象的变化规律进行判断； ②利用幂函数的单调性进行判