第八章函数应用知识点清单-2022-2023学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

新教材 苏教版2019版 数学必修第一册 第八章知识点清单 目录 第八章　函数应用 8. 1 二分法与求方程近似解 8. 2 函数与数学模型 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第八章　函数应用 8. 1 二分法与求方程近似解 8. 1. 1　函数的零点 一、函数的零点 1. 函数的零点的概念 一般地，我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点. 因此，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解. 从图象上看，函数y=f(x)的零点，就是它的图象与x轴交点的横坐标. 2. 函数零点存在定理 　　若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)上有零点. 二、一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题 设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根，令f(x)=ax2+bx+c(a>0)，则x1，x2的分布情况如表所示： 根的分布 图象 等价条件 x1<x2<k k<x1<x2 m<x1<k<x2<n x1，x2∈(k1，k2) 只有一根在 (k1，k2)内 或或 三、函数零点个数的判断及应用 1. 判断函数f(x)的零点个数的主要方法 (1)转化为解相应的方程，根据方程的解进行判断. (2)画出函数y=f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判断零点的个数. (3)利用函数零点存在定理进行判断，若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示. (4)转化成两个函数图象的交点个数问题. 2. 已知函数零点的个数求参数的取值范围的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的关系式，通过关系式确定参数的取值范围. (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题. (3)数形结合法：必要时先对解析式变形，然后在平面直角坐标系中画出函数的图象，通过数形结合求解. 8. 1. 2　用二分法求方程的近似解 一、用二分法求方程的近似解 1. 二分法的概念 　　对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法. 2. 用二分法求方程的一个近似解的操作流程 在以上操作过程中，如果存在c，使得f(c)=0，那么c就是方程f(x)=0的一个精确解. 二、用二分法求方程的近似解 1. 用二分法求方程近似解的适用条件 (1)在初始区间内函数图象是连续不断的； (2)函数在初始区间的两个端点处的函数值异号，即是变号零点. 2. 利用二分法求函数零点的注意事项 (1)要选好计算的初始区间，既要使这个区间包含函数的零点，又要使其长度尽量小. (2)用列表法往往能更清晰地表达函数零点所在的区间. (3)根据给定的精确度，及时检验区间端点的近似值是否相同，以决定是停止计算还是继续计算. 8. 2 函数与数学模型 一、三种常见函数模型的增长差异 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xα(α>0) 性 质 在(0，+∞)上的增减性 增 增 增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 α(0<α≤1)值较小时，增长较慢；α(α>1)值较大时，增长较快 增长后的结果 当x足够大时，总有ax>xα>logax 　　注意：一般地，在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”“直线上升”“对数 增长”等术语表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式. 二、利用函数模型解决实际问题 1. 解决实际问题通常按照以下程序进行：实际问题→建立数学模型→求解数学模型 →解决实际问题. 三、利用函数模型解决实际问题 　　利用函数模型解决实际问题的关键是选择和建立恰当的函数模型，一方面，可根据实际问题提供的两个变量的数量关系确定函数模型，另一方面，可利用函数图象的直观性确定函数模型. 在确定函数模型时，要根据实际情况灵活选取，要认真审题，读懂题意，理解题干所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学问题，注意培养直观想象与数学建模的核心素养. 此外，用得到的函数模型进行拟合时，可能误差较大或不符合客观实际，因此要对所得函数模型进行检验，切忌盲目下结论. $