第08讲 利用导数研究方程的根（核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第08讲 利用导数研究方程的根 （核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2022年新I卷，第22题,12分 利用导数研究方程的根 由导数求函数的最值 (含参) 2021年新Ⅱ卷，第21题,12分 利用导数研究方程的根 求离散型随机查量的均值 均值的实际应用 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分 【备考策略】1能用导数证明函数的单调性 2能结合方程的根的定义用导数解决方程的根的问题 【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习 知识讲解 利用导数研究函数方程的根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围. (2)数形结合法求解零点（方程的根） 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点（方程的根） ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 考点一、利用导数研究方程的根 1．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数． (1)求的单调区间； (2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明： （ⅰ）若，则； （ⅱ）若，则． （注：是自然对数的底数） 1．（2023·湖南·校联考二模）已知函数． (1)求的最小值； (2)证明：方程有三个不等实根． 2．（2023·吉林长春·统考模拟预测）函数． (1)求证：； (2)若方程恰有两个根，求证：． 3．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）. ①若恒成立，求实数的取值范围； ②若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围. 4．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数，为的导函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，有且只有两根，（）. ①若，求实数a的取值范围； ②证明：. 5．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数和在同一处取得相同的最大值． (1)求实数a； (2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为（），证明：． 【基础过关】 1．（2023·江西南昌·统考一模）已知函数． (1)若时，函数有2个极值点，求的取值范围； (2)若，，方程有几个解？ 2．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）设，，且a、b为函数的极值点 (1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论； (2)若曲线在处的切线斜率为，且方程有两个不等的实根，求实数m的取值范围. 3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，的导函数为． (1)讨论的极值点的个数； (2)当时，方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 4．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：. 5．（2023·四川成都·统考二模）已知函数，其中，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【能力提升】 1．（2023·广西桂林·统考一模）已知函数. (1)当时，求函数的最大值； (2)若关于x的方1有两个不同的实根，求实数a的取值范围. 2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，为其导函数. (1)若，求的单调区间； (2)若关于的方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围. 3．（2023·陕西宝鸡·统考一模）已知函数. (1)求曲线在点处