第06讲 利用导数研究能成立（有解）问题（核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第06讲 利用导数研究能成立（有解）问题 核心考点精讲精练） 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分 【备考策略】1能用导数证明函数的单调性 2能求出函数的极值或给定区间的最值 3有解，有解， 【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习 知识讲解 1. 能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 2. 能成立（有解）问题的解决策略 ①构造函数，分类讨论； ②部分分离，化为切线； ③完全分离，函数最值； ④换元分离，简化运算； 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点． 考点一、利用导数解决函数能成立（有解）问题 1．（全国·高考真题）设函数，曲线处的切线斜率为0 求b;若存在使得，求a的取值范围． 2．（·天津·高考真题）已知，函数， ．（的图象连续不断） (1) 求的单调区间； (2) 当时，证明：存在，使； (3) 若存在属于区间的，且，使，证明： ． 3．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 1．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若存在，使成立，求a的取值范围. 2．（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数（e为自然对数的底数），a，. (1)当时，讨论在上的单调性； (2)当时，若存在，使，求a的取值范围. 3．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）已知．（） (1)讨论的单调性； (2)若，且存在，使得，求的取值范围． 4．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)已知，若存在，不等式成立，求实数的最大值. 【基础过关】 1．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）已知函数． （1）当时，求函数的极小值； （2）若上，使得成立，求的取值范围． 2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知函数． （1）讨论的单调性﹔ （2）若存在，求的取值范围． 3．（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知函数在处取得极值4． (1)求a，b的值； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围． 4．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知函数． (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值． (2)，使得成立，求实数的取值范围． 5．（2023·青海西宁·统考二模）设函数． (1)若函数在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围； (2)当时，设函数，若在[上存在，使成立，求实数a的取值范围． 【能力提升】 1．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数. (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围. 2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，． (1)求的极值； (2)若存在，对任意的，使得不等式成立，求实数的取值范围．（） 3．（2023·北京海淀·统考一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若存在，使得，求a的取值范围． 4．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围． 5．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线：垂直，求； (2)若对，存在，使得有解，求的取值范围． 【真题感知】 1．（湖北·高考真题）设是函数的一个极值点． (1)求与的