第04讲 利用导数证明不等式（核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第04讲 利用导数证明不等式（核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2021年新I卷，第22题,12分 利用导数证明不等式 利用导数求函数的单调区间 (不含参) 导数中的极值偏移问题 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分 【备考策略】1能用导数证明函数的单调性 2能求出函数的极值或给定区间的最值 3能进行函数转化证明不等式 【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习 知识讲解 在不等式构造或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与、有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈与、有关的常用不等式的生成． 1.利用曲线的切线进行放缩证明不等式 设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有． 设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有． 利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数． 2.利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式 由图可得；由图可得；由图可得，（），（）；由图可得，（），（）． 综合上述两种生成，我们可得到下列与、有关的常用不等式： 与有关的常用不等式： （1）（）； （2）（）． 与有关的常用不等式： （1）（）； （2）（）； （3）（），（）； （4）（），（）． 用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式． 考点一、利用导数证明不等式 1．（2023·天津·统考高考真题）已知函数． (1)求曲线在处切线的斜率； (2)当时，证明：； (3)证明：． 2．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 3．（2021·全国·统考高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 1．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数. (1)讨论的极值； (2)当时，证明：. 2．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数． (1)当时，证明：恒成立； (2)当时，证明：． 3．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，若，求证：； (3)求证：对于任意都有． 4．（2023·浙江·校联考三模）已知函数. (1)令，讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 5．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知函数． (1)令，讨论在的单调性； (2)证明：； (3)若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 6．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数． (1)若存在唯一零点，求实数a的取值范围； (2)当时，证明：． 7．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）已知函数. (1)求函数的最大值； (2)当时，证明：. 8．（2023·广东湛江·统考二模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程． (2)若存在使得，证明： （i）； （ii）． 【基础过关】 1．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知为函数的极值点． (1)求； (2)证明：当时，． 2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知函数. (1)证明：； (2)证明：. 3．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，其中 (1)若函数的图象恒不在轴上方，求实数的取值范围； (2)证明：，其中． 4．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 (1)若单调递增，求a的值； (2)判断（且）与的大小，并说明理由. 5．（2023·北京密云·统考三模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：. 6．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)已知且，求证：. 7．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知函数． (1)若函数有两个零点，求a的取值范围； (2)证明． 8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数． (1)证明：； (2)讨论的单调性，并证明：当时，． 9．（2023·四川成都·石