2023年福建中考第23题专题：相似形综合题

2023年福建中考第23题专题：相似形综合题 1．（2023•福建）阅读下列材料，回答问题． 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3． 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB．其测量及求解过程如下： 测量过程： （ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC＝am，BC＝bm； （ⅱ）分别在AC，BC上测得CM＝m，CN＝m；测得MN＝cm． 求解过程： 由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝， ∴＝＝，又∵①　 　， ∴△CMN∽△CAB，∴． 又∵MN＝c，∴AB＝②　 　（m）． 故小水池的最大宽度为***m． （1）补全小明求解过程中①②所缺的内容； （2）小明求得AB用到的几何知识是 　 　； （3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）． 2．（2023•鼓楼区校级一模）如图1，在正方形ABCD中，将边BC绕点C顺时针旋转α（0＜α＜180°）得到线段EC，延长CE与AD相交于点F．G为直线AD上一点，连接BG、BE，∠CBE＝∠GBE． （1）求证：四边形GBCF为平行四边形； （2）如图2、BE交CD于点H，当点G与点D重合时，求的值； （3）如图3，当135°＜α＜180°，猜想线段CH、DG与EF有何关系，并证明你的结论． 3．（2023•福州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，O是对角线AC，BD的交点，点P是线段AB上的动点，直线PO交直线AD于点E，交CD于点Q，连接CE，在直线CE上取点F，使FQ＝CQ（点F不与点C重合）． （1）当点D是线段AE的中点时，求的值． （2）若点F与点E重合时，AP＝9，求AD的长． （3）已知AD＝5．在点P的移动过程中，是否存在某一位置，使得FQ与△ABD的某一边平行？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由． 4．（2023•晋安区校级模拟）如图（1），等腰三角形ABC中，BC＝5，AB＝AC＝3．点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC． （1）操作发现： 将图（1）中的△ADE绕点A逆时针旋转，当点D落在BC边上时，DE交AC于点M，如图（2）．发现：AB•CM＝BD•CD．请证明这个结论． （2）实践探究： 将图（1）中的△ADE绕点A顺时针旋转（∠BAD＞90°），当D，E，C三点在同一条直线上时，连接BD，如图（3）．请解答以下问题： ①求证：△ADB≌△AEC； ②探究线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由． 5．（2022•尤溪县模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，Q在CD的延长线上，H在CB的延长线上，∠HCQ绕点C逆时针旋转∠HCH'＜45°，得到∠H'CQ'，交AB于点E，交AD的延长线于点N，交BD于点F，NE与BD的交点为M，连接CM．当BE＝2时． （1）求ND的长． （2）求证：CF•EF＝MF•BF． （3）求CM的长． 6．（2020•福建）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数； （2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC． ①判断DF和PF的数量关系，并证明； ②求证：＝． 7．（2022•莆田模拟）在边长为1的正方形ABCD中，动点E在射线BC上，动点F在CB延长线上，直线FA，ED相交于点G． （1）如图1，当∠EGF＝90°时，求BF•CE的值； （2）若BE＝2BF，连接BG交AD于点H． ①如图2，当BF＞时，判断tan∠ABG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． ②设BF＝x，BG＝y，求y与x之间的函数关系式． 8．（2023•泉州模拟）如图1，在正方形ABCD中，E是对角线CA延长线上的一点，线段BE绕点B顺时针旋转90°至BG，连接CG． （1）求证：AE＝CG； （2）连接EG交AD于点F，并延长与BC的延长线相交于点H． ①如图2，若FD＝CG，求的值； ②如图3，EC与BG相交于点Q，若，求sin∠BHE的值． 9．（2023•泉港区模拟