2023年福建省中考（模拟）数学试题：第21题 圆（切线的性质）

2023年福建中考第21题专题：圆（切线的性质） 1．（2023•福建）如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC． （1）求证：AO∥BE； （2）求证：AO平分∠BAC． 2．（2023•福安市二模）如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，过点C的切线与AD的延长线交于E，连接CD，AC． （1）求证：CE⊥AE； （2）若CD∥AB，DE＝1，求⊙O的半径． 3．（2022•福建）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF． （1）求证：AC＝AF； （2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）． 4．（2023•福州模拟）如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且BF是⊙O的切线． （1）求证：∠BAC＝2∠CBF； （2）若⊙O的半径为5，sin∠CBF＝，求CD的长． 5．（2023•三明二模）点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE＝EF． （1）求证：∠C＝90°； （2）当BC＝3，AC＝4时，求AF的长． 6．（2022•尤溪县模拟）如图，⊙O是△BED的外接圆，与EG相切于点E，BF是⊙O的直径．连EO交BD于点M． （1）求证：∠BEG＝∠D． （2）若M恰好是BD的中点，BE＝2，sin∠BEG＝，求△DBE的面积． 7．（2022•南平模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，F为AB边上一点，以AF为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点E． （1）求证：AD平分∠CAB； （2）已知AE＝，DE＝3，求线段BF的长． 8．（2022•延平区校级模拟）如图，DP是⊙O的切线，D为切点，弦AB∥DP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD． （1）求证：AF∥OD； （2）若OD＝5，AB＝8，求线段EF的长． 9．（2021•漳州模拟）如图，直线AB与⊙O相切于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE于点C，DF⊥AB于点F．求证：DC＝DF． 10．（2023•思明区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在斜边BC上，直角边AC恰好与以BD为直径的半圆相切于点E，连接DE，过点O作OF∥DE，交AB于点F． （1）请判断四边形BOEF的形状，并说明理由； （2）若AE＝6，sin∠C＝，求AB的长． 11．（2023•鼓楼区校级二模）已知：在⊙O中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为点C，D为上一点，连接BD、BC、DC． （Ⅰ）如图1，若∠D＝28°，求∠P的度数． （Ⅱ）如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC＝5，求CP的长． 12．（2023•龙岩模拟）如图，点C是的中点，直线EF与⊙O相切于点C，直线AO与切线EF相交于点E，与⊙O相交于另一点D，连接AB，CD． （1）求证：AB∥EF； （2）若∠DEF＝3∠D，求∠DCF的度数． 13．（2022•鼓楼区校级一模）已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE． 14．（2023•思明区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝4，以C为圆心，半径为2作⊙C，点P在直线AB上，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点求切线长PQ的最小值． 15．（2021•上杭县模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是的中点，连接AE交BC于点F． （1）求证：AC＝CF； （2）若AB＝4，AC＝3，求∠BAE的正切值． 16．（2021•漳州模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，过点C的直线与⊙O交于D，E两点，与AB交于点F，连结AD，AE，且AD＝DF． （1）求证：AD＝CD； （2）若AD＝5，AE＝8，求⊙O的半径． 17．（2023•南平模拟）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点B，过点C作CD⊥MN于点D． （1）求证：∠ACB＝∠BCD； （2）若，BD＝4，求AC的长． 18．（2022•城厢区模拟）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，延长DC交切线AF于点F，交AB于点E，若AC＝CE． （1）求证：AF＝AD； （2）若EF＝5，AD＝4，求点O到AD的距离． 19．（2021•思明区校级二模）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD． （1）连接BC，求证：BC＝O