专题35 复数-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题35复数 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：复数的概念 题型二：复数的四则运算 题型三：复数的几何意义 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共10题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义. 4.能进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 【考点预测】 1．复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位． (2)复数的分类： 复数z＝a＋bi(a，b∈R) (3)复数相等： a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数： a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模： 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－. 【常用结论】 1.i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i. 3.复数的模与共轭复数的关系 z·＝|z|2＝||2. 【方法技巧】 1.解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 2.复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． 3.复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． 4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 二、【题型归类】 【题型一】复数的概念 【典例1】如果复数(b∈R)的实部与虚部相等，那么b＝(　　) A.－2 B.1 C.2 D.4 【典例2】(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　) A.z的虚部为－1 B.|z|＝ C.z2为纯虚数 D.z的共轭复数为－1－i 【典例3】(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是(　　) A.若|z1－z2|＝0，则1＝2 B.若z1＝2，则1＝z2 C.若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2 D.若|z1|＝|z2|，则z＝z 【题型二】复数的四则运算 【典例1】(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是(　　) A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3 C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3| D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2 【典例2】在数学中，记表达式ad－bc为由所确定的二阶行列式．若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝，z3＝2，则当＝－i时，z4的虚部为________． 【典例3】若z＝，则|z|＝________；z＋＝________. 【题型三】复数的几何意义 【典例1】已知i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例2】设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i(i为虚数单位)，则z1z2＝(　　) A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i 【典例3】已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝