上海实验学校2022-2023学年高一下学期期末数学试卷

2022-2023学年上海实验学校高一（下）期末数学试卷 一、单选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知函数，各项均不相等的数列满足，记若，则；若是等差数列，且，则对恒成立关于上述两个命题，以下说法正确的是(    ) A. 均正确 B. 均错误 C. 对，错 D. 错，对 2. 设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数，复数，，，，所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则以下命题错误的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 矩形中，，，动点满足，，，则下列说法中错误的是(    ) A. 若，则的面积为定值 B. 若，则的最小值为 C. 若，则满足的点不存在 D. 若，，则的面积为 二、填空题（本大题共10小题，共40.0分） 5. 已知向量，满足，则 ______ ． 6. 设等差数列的前项和为，已知，则______． 7. 若，，则在方向上的投影为______ ． 8. 是数列的第______ 项 9. 设是等比数列，且，，则______． 10. 已知复数满足为虚数单位，则复数 ______ ． 11. 已知向量，满足，，，则 ______ ． 12. 的所有的三次方根为______ ． 13. 设复数满足，使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为______． 14. 已知，，为圆为坐标原点上不同的三点，且，若，则当取最大值时， ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 本小题分 已知向量，满足：，． 若，求的坐标； 若，求与的夹角的余弦值． 16. 本小题分 已知复数在复平面内对应的点在直线上，且复数为实数． 求复数； 已知是方程的根，求实数，的值． 17. 本小题分 数列中，是的前项和，，是等差数列，． 求和的通项公式； 设，求的前项和． 18. 本小题分 已知函数． 求证为定值； 若数列的通项公式为为正整数，，，，，求数列的前项和； 设数列满足，设若中的满足，恒成立，试求的最大值． 19. 本小题分 数列满足，，，，，，． 求，并求数列的通项公式； 设，证明：当时，． 20. 本小题分 对于数集，其中，，定义向量集，，，若对任意，存在，使得，则称具有性质例如具有性质． 若，且具有性质，求的值； 若具有性质，求证：，且当时，； 若具有性质，且、为常数，求有穷数列，，，的通项公式． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：在上为奇函数且单调递增， ：可得，则， 所以，则， ，故G，正确， ：为等差数列，当时， 若为偶数，， 可得，则， 同理可得：，，所以， 若为奇数，， ，，，，所以， 当时，同理可证，正确， 故选：． 先分析出在上为奇函数且单调递增，再根据函数的性质以及等差数列的性质逐个分析即可求解． 本题考查了三角函数的性质以及数列的性质，考查了学生的分析问题的能力以及运算能力，属于中档题． 2.【答案】  【解析】 【分析】 本题考查了向量的数量积、必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题． 从充分性和必要性两方面分别分析即可． 【解答】 解：，为非零向量，存在负数，使得，则向量，共线且方向相反，可得． 反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足，而不成立． ，为非零向量，则“存在负数，使得”是”的充分不必要条件． 故选A．    3.【答案】  【解析】解：对于选项A，当时， 则，则，即选项A正确； 对于选项B，结合，，即选项B正确； 对于选项C，若，则， 则，故C错误； 对于选项D，若，则， 则，， 则，即选项D正确． 故选：． 根据复数的运算，复数的模的运算以及向量的运算及性质逐一判断即可得解． 本题考查了复数的运算，重点考查了复数的模的运算以及向量问题，属基础题． 4.【答案】  【解析】解：对于，当时，由向量加法的平行四边形法则知，点应该在边上， 在中，以为底边，高为点到的距离， 所以为定值，故A正确； 对于，当时，由向量加法的平行四边形法则知，点应该在边上， 当位于点处时，有最小值，故B错误； 对于，当时，取的中点，的中点，连接， 此时点位于上，无论怎么移动，，都不会垂直，故C正确； 对于，当，时，由向量加法的平行四边形法则作图， 此时到的距离为，，故D正确． 故选：． 由平面向量的线性运算知识和三角形的面积逐一判断各选项即可． 本题考查平面几何图形中的动点问题，平面向量的线性运算及三角形的面积等知识，属于中档题． 5.【答案】  【解析】解：由于向量，满