4.6 反证法 练习题2022-2023学年数学浙教版八年级下册

反证法 1、 选择题 1、应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(　　) ①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论． A．①②　　　　　　　　　 B．②③ C．①②③ D．①②④ 2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(　　) A．有一个解　　　　　　 B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解 3、命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是(　　) A．a<b B．a≤b C．a＝b D．a≥b 4、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为(　　) A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数 2、 填空题 1、命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________． 2、用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 正确顺序的序号排列为____________ 3、 “任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应_____________ 三、解答题 1、在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A＜60°. 2、已知x，y＞0，且x＋y＞2. 求证：，中至少有一个小于2. 3、求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等． 4. 若两条直线a、b相交则只有一个交点。 5．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0. 求证：a>0，b>0，c>0. 6、设a，b，c是不全相等的任意整数，若x＝a2－bc，y＝b2－ac，z＝c2－ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零． 参考答案 一、选择题 1、C 【解析】考查反证法的基本思想 2、C 【解析】在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C. 3、B 【解析】“a>b”的否定应为“a＝b或a<b”，即a≤b.故应选B. 4、B 【解析】a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B. 二、填空题 1、没有一个是三角形或四边形或五边形 【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”． 2、③①② 【解析】由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①② 3、 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角 【解析】全称命题的否定形式为特称命题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”．故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”． 三、解答题 1、证明：　假设A≥60°， ∵A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)， ∴B≥A≥60°，C＞A≥60°， ∴A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾， ∴假设错误，原结论成立，即A＜60°. 2. 证明：　假设，都不小于2. 即≥2，≥2. ∵x＞0，y＞0， ∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y)， 即x＋y≤2，与已知x＋y＞2矛盾． ∴，中至少有一个小于2. 3. 已知：如解图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B≠∠B′. 求证：AC≠A′C′. 证明：假设AC＝A′C′. ∵AB＝A′B′，BC＝B′C′， ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)． ∴∠B＝∠B′，这与已知矛盾， ∴假设不成立， ∴AC≠A′C′. 4.假设直线a、b不止有一个公共点，则至少有两个公共点，不妨设为A、B，即直线a、b同时过点A、B，也就是说过A、B两点可以作两条直线a、b，这和公理“过两点能且只能作一条直线”相矛盾，所以假设不成立，两条直线相交只有一个交点。 5、用反证法： 假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0， 可得c>－(a＋b)， 又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b) ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab 即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2 ∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab