第09讲 《二次函数》单元总结及考点例题剖析-2023-2024学年人教版九年级数学上册同步学讲练测系列讲座之《二次函数》

2023-2024人教版九年数学上册同步学讲练测系列讲座之《二次函数》 第09讲 《二次函数》单元总结及类型题解题方法剖析 学新课标对知识点要求 （1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 （2）会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。 （3）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。 （4）会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。 （5）*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。 单元思维导图 学知识点及其解读 1．二次函数的概念：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。抛物线叫做二次函数的一般式。 2．二次函数的图像： 二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 3．抛物线的主要特征： （1）有开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。 （2）有对称轴：对称轴为x= （3）有顶点：顶点坐标 4．用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. ②顶点式：. 或 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 ③交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：。 5．根据图像判断a,b,c的符号 （1）a ——开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。 （2）b ——对称轴与a 左同右异 6．抛物线与y轴交点坐标（0，c） 7．二次函数的性质 （1）当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大 （2） 当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小 8．二次函数与一元二次方程的关系 抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。 抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0 >0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点； =0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点； <0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点 9．函数平移规律：左加右减、上加下减。 讲知识点的例题解析 考点一：求抛物线的顶点、对称轴、最值 【例题1】（2023四川凉山）已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. （为实数） 考点二：二次函数的图像与性质及函数值的大小比较 【例题2】对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是x=m C．最大值为0 D．与y轴不相交 考点三：二次函数y=ax2 +bx+c (a≠0)的图像与系数a，b，c的关系 【例题3】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 考点四：抛物线的几何变换 【例题4】抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 考点五：二次函数表达式的确定 【例题5】如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C； （1）求抛物线的解析式（用一般式表示）； （2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由； （3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长． 考点六：二次函数与一元二次方程 【例题6】（2023天津）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． （1）若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 【答案】（1）①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为 （2） 考点七：二次函数的应用 【例题7】（2022四川成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范