2023年福建中考第24题专题：二次函数综合题

2023年福建中考第24题专题：二次函数综合题 一．直线位置关系（共4小题） 1．（2022•厦门模拟）在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的顶点A，D的坐标分别是（b，0），（m，0），其中m＞b． （1）若点B在x轴的上方， ①m＝b+4，求BC的长； ②B（n，t），t＝n﹣b，且n﹣m＝（﹣1）b．证明：四边形ABCD是菱形； （2）抛物线y＝a（x﹣m）2+km（a＜0）经过点B，C．对于任意的k（0＜k＜4），当a，m的值变化时，抛物线会不同，记其中任意两条抛物线的顶点为P1，P2（P1与P2不重合），则命题“对所有的a，b，当ab≥1时，一定不存在AB∥P1P2的情形．”是否正确？请说明理由． 2．（2022•思明区校级二模）已知抛物线y＝x2﹣（2+m）x+m（m＞2）与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点E，顶点为D． （1）求的值； （2）连接CD，过点O作CD的垂线交抛物线的对线轴于点F，求EF的长； （3）过点C作直线CH交抛物线于另一点H（不与A，B重合），过点A作AG⊥x轴交CH于点G，连接OG，BH，请判断OG与BH的位置关系，并说明理由． 3．（2022•集美区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线T：y＝a（x+4）（x﹣m）与x轴交于A，B两点，m＞﹣3，点B在点A的右侧，抛物线T的顶点为记为P． （1）求点A和点B的坐标；（用含m的代数式表示） （2）若a＝m+3，且△ABP为等腰直角三角形，求抛物线T的解析式； （3）将抛物线T进行平移得到抛物线T'，抛物线T'与x轴交于点B，C（4，0），抛物线T'的顶点记为Q．若0＜a＜，且点C在点B的右侧，是否存在直线AP与CQ垂直的情形？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． 4．（2023•思明区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON （1）求m的值； （2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标； （3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为xP′、xQ′，且xP′⋅xQ′＝4，求证：直线PQ经过定点． 二．四边形存在性（共4小题） 5．（2021•思明区校级二模）如图，抛物线过点A（6，0），点B是抛物线的顶点，点D是x轴上方抛物线上的一点，连接OB，OD． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，当∠BOD＝30°时，求点D的纵坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合）连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在第一象限内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 6．（2022•思明区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C，连接BC，且OB＝OC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DE⊥BC于点E，设DE＝d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G，连接DF，过D作DH⊥DF交FG于点H，点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tan∠HDN＝，当四边形DHMN为菱形时，求点N的坐标． 7．（2022•海沧区二模）抛物线y1＝ax2﹣2ax+c（a＜2且a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点M（m，n）在该抛物线上，点P是抛物线的最低点． （1）若m＝2，n＝﹣3，求a的值； （2）记△PMB面积为S，证明：当1＜m＜3时，S＜2； （3）将直线BP向上平移t个单位长度得直线y2＝kx+b（k≠0），与y轴交于点C，与抛物线交于点E，当x＜﹣1时，总有y1＞y2．当﹣1＜x＜1时，总有y1＜y2．是否存在t≥4，使得△CDE是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 8．（2023•厦门模拟）抛物线y＝ax2+bx+c从左往右上升的这一侧是此抛物线递增的一侧．若一个四边形内不含抛物线y＝ax2+bx+c递增一侧的任意部分，则称该四边形是此抛物线的“非递增四边形”． 抛物线y＝x2﹣2mx+m（m≥2）的顶点为P，与