坐标系与参数方程综合复习——2024高考数学一轮复习（旧版人教A版）

2024年高考数学一轮复习 解析几何（三） 极坐标与参数方程综合复习 作者：YBW 极坐标和参数方程作为老课本人教A版选修4-4的内容，在高考数学（全国甲、乙卷）中会在选考中考查。虽然选考部分只占10分且可以选择另一个不等式的选考，并且在人教A版（2019）中删去，只作为阅读材料出现，且在新高考中不再单独考查，但在解决一些问题中仍是一种好方法，并且在高等数学中，参数方程也是一种极其常用的方法，是得到广泛运用的，故一些老师仍旧会加以讲解。 在新高考的大环境下，虽然极坐标和参数方程不再作为重点单独考查，但部分题目用极坐标与参数方程的方法求解，能大大地减轻计算量，缩短做题时间。在高考数学中将单独考查变为做题技巧，是现今高中数学改革情况下的一个重点，是值得老师和学生们加以重视的。 本章节作为《高考数学一轮复习》系列中的《解析几何》的最后一部分，虽然是往年高考选讲部分的内容，但在新高考的背景下显得极为重要。故无论是哪个地区的学生，都需要重视对这部分拓展内容的学习，在考试时做相关题目多一种解题技巧。切不可忽视对这部分的学习，特别是仍在使用老高考全国卷和部分自主命题地区的考生，此部分可是占着相当一部分分数的。 一、平面直角坐标系 我们知道，通过直角坐标系，平面上的点与坐标 （有序实数对） 、曲线与方程建立了关系，从而实现了数与形的结合.根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的坐标法. 由于现实问题的复杂性，有时在直角坐标系下建立几何图形的方程并不方便.为便于用代数方法研究几何图形，需要建立不同的坐标系.在建立某些几何图形的方程时，用极坐标系、柱坐标系和球坐标系会更加方便. 1.平面直角坐标系 （1）在平面内，确定一个物体的位置一般需要 个数据. （2）在平面内，两条 、 的 组成平面直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫 或 ，竖直的数轴叫 或 ， 和 统称坐标轴，它们的公共原点称为平面直角坐标系的 . （3）如图，对于平面内任意一点，过点分别向轴、轴 ，垂足在轴、轴上对应的数分别叫做点的 、 ， 叫做点的坐标. （4）两条坐标轴将坐标平面分成了 个象限，第一象限内点的坐标特征 是，第二象限内点的坐标特征是 ，第三象限内点的坐标特征是 ，第四象限内点的坐标特征是 ；坐标轴上的点不属于任何象限，轴上的点 坐标等于0，轴上的点 坐标等于0. （5）在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应； 反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 定义 设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 二、极坐标系 1.极坐标系的概念 如图，在平面内取一个定点 ，叫做极点； 自极点 引 一条射线，叫做极轴； 再选定一个长度单位、一个角度单位 （通常取弧度） 及其正方向 （通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系. 设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为.有序数对 叫做点的极坐标，记作.一般地，不作特殊说明时，我们认为，可取任意实数. 2.极坐标和直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是.从图中可以得出它们之间的关系： . 由上式又可得到下面的关系式： 这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 注：把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法（极角相差的整数位）.一般只要取就可以了. 三、简单曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的极坐标方程. 1.圆 （1）圆心，半径为， 极坐标方程为： 证明如下： 法1： 如图，圆经过极点.设圆和极轴的另一个交点是，那么，设为圆上除点，以外的任意一点，则.在Rt中， 即 可以验证，点的坐标满足等式. 法2： 设圆的方程为：， 即， 设， ∴， ∵， ∴ （2）圆心，半径为， 极坐标方程为： （3）圆心，半径为， 极坐标