坐标系与参数方程解答题专项训练——2024届高考数学一轮复习

备战2024届高考解答题训练题—坐标系与参数方程 1．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程； (2)若射线（其中，且，）与曲线在轴上方交于点，与直线交于点，求. 2．已知点在曲线上． (1)求动点的轨迹C的参数方程，并化为直角坐标方程； (2)过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率． 3．以直角坐标系的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为． (1)求曲线C的直角坐标方程； (2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求的最小值． 4．以坐标原点为极点､轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标为方程为，曲线的参数方程为.(为参数) （1）写出直线和曲线的直角坐标方程； （2）在平面直角坐标系中，直线与轴､轴的交点分别为､，点为曲线上任意一点，求的取值范围. 5．已知极坐标系中，曲线的极坐标方程是．以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）． （1）求曲线的直角坐标方程和时直线的普通方程； （2）设点的坐标为，直线交曲线于，两点，求的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，由经过伸缩变换得到曲线，以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程； （2）若直线的极坐标方程为，与曲线、曲线在第一象限交于、，且，点的极坐标为，求的面积． 7．已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角. （1）求曲线C和射线的极坐标方程； （2）求△OAB的面积的最小值，并求此时的值． 8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C的普通方程，并将其化为极坐标方程(化为的形式)； （2）若点在曲线C上，且，求的最大值 9．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为． (1)写出直线的参数方程及曲线的普通方程； (2)设点，若直线与曲线交于A、B两点，且，求实数的值． 10．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)写出C的普通方程； (2)若A，B是C上异于坐标原点O的两动点，且，，并与线段AB相交于点P，求点P轨迹的极坐标方程． 参考答案 1．（1）由，得，即. 故直线的普通方程是. 由得， 代入公式，得，∴， 故曲线的直角坐标方程是. （2）方法一：由（其中，且，），得，. 将射线代入曲线的极坐标方程，可得， ∴. 直线的极坐标方程为， 将代入直线的极坐标方程可得， ∴， ∴. 方法二：由题可得射线（其中，且，）的直角坐标方程为. 联立，解得，则点. 联立解得，则点. ∴. 2．（1）由题意，曲线的参数方程为，为参数， 则， 再设，则，为参数， 消去参数，得到， 故点M的轨迹C的方程为． （2）设l的参数方程为（t为参数），且， 代入曲线C的方程得， 设A，B两点对应得参数分别为，，则， 所以，则， 即直线l的斜率为． 3．(1)由，得，所以曲线C的直角坐标方程为. (2)将直线l的参数方程代入，得，化简得：，恒成立． 设A，B两点对应的参数分别为，，则，所以，当时，的最小值为8． 4．（1）由题意，直线的极坐标为方程为 可得，因为，， 代入可得直线的直角坐标方程为， 又由，可得， 所以曲线的直角坐标方程为. （2）由（1）直线的普通方程为，可得点，， 又由曲线的参数方程为(为参数)，设， 则 ，其中 因为，所以， 故的取值范围是. 5．（1）曲线的直角坐标方程为：， 当时直线的参数方程为，消去参数， 可得其普通方程为． （2）由直线的参数方程可知，直线过定点， 联立和可得：， 因为直线交曲线于，两点，所以， 解得：， 因为点在圆外面，所以由参数的几何意义可知： ， 即的取值范围为． 6．（1）平面直角坐标系中，由经过伸缩变换得到曲线，得到直角坐标方程为． 根据转换为极坐标方程为． 曲线的极坐标方程为．根据转换为直角坐标方程为． （2）由于得到：， 且整理得． 由于， 所以， 故：，解得． 所以，． 则： ． 7．（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为， 由，，得， 所以曲线C的极坐标方程为，[或] 的极坐标方程为； （2）依题意设，则由（1）可得， 同理得，即， ∴