第四讲 基本不等式专题讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

新东方·老师好 高一数学 一对一教材·高一数学 目录 第四讲 基本不等式 1 【课前诊断】 1 【教学目标】 2 【知识点一：基本不等式的理解】 4 【知识点二：均值定理】 5 【典型例题】 5 考点一： 公式的直接应用 5 考点二： 利用基本不等式求最值 7 考点三： 凑项 10 考点四： 分离系数 11 考点五： “1”的运用 12 第四讲 基本不等式 【课前诊断】 成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1. 解下列一元二次不等式 （1） （2） （3） （4） 2. 若，求不等式的解集 3. 求关于的不等式 4. 若，求关于的不等式的解集 5. 求下列不等式的解. （1）；（2）；（3）；（4）. 【教学目标】 1.掌握基本不等式的公式运用，及了解基本不等式的证明 2.会用基本不等式求函数的最大值或最小值 3.会用基本不等式解决实际问题 知识要点 引入：基本不等式的证明 在初中我们学过完全平方公式，我们知道：，展开以后我们得到一个重要不等式： 特别地，如果我们用分别代替上式中的，可得： ， （1） 当且仅当时，等号成立. 通常称不等式（1）为基本不等式（basicinequality）.其中，叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. 基本不等式表明，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 下面我们从代数、几何两个方面证明一下这个重要的不等式（）： 代数法： 由可以知道，当且仅当的时候取等号; 所以， ，当且仅当的时候取等号; 所以， ，当且仅当的时候取等号; 所以， ，当且仅当的时候取等号; 所以， ，当且仅当的时候取等号; 即 ，当且仅当的时候取等号. 几何证明法： 在右图中，是圆的直径，点是上一点， . 过点作垂直于的弦，连 接，. 由图可证：∽, 因而 . 由于小于或等于圆的半径，用不等式 表示： 显然，当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式的等号成立. 【知识点一：基本不等式的理解】 1.对于任意两个实数，叫做的算术平均值，叫做的几何平均值此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数 2.对于的理解应为是的充要条件也就是如果，则 3.注意和成立的条件不同前者是，后者是 【典型例题】 【例1】已知，求的最小值 【练习1】已知，求的最小值. 【例2】设，则下列不等式不成立的是（） （A） （B） （C） （D）. 【练习1】若，且，则下列不等式中，恒成立的是（） （A） （B） （C） （D） 【例3】对任意的正实数x,y，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 【知识点二：均值定理】 如果，那么，当且仅当时，等号成立 【典型例题】 考点一： 公式的直接应用 【例1】若（和为定值），则当时，取得最大值是； 【例2】若（积为定值），则当时，取得最小值是； 【练习1】 （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 【练习2】求的最大值. 【注意】 ①注意前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式； ②求积最大值时，应看和是否是定值；求和最小值时，看是否为定值 ③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式； ④注意“1”的代换； ⑤等号是否成立:只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值 运用均值不等式的前提有口诀：一正，二定，三相等 考点二： 利用基本不等式求最值 【例1】已知，则的最小值为_____ ，当取得最小值时的值为______ . 【练习1】若的最小值为 （A） （B） （C） （D） 【例2】判断下列各式的正误，并说明理由： （1）的最小值是 （2）时，当且仅当,即时取最小值 （3）时，的最小值是 . 【练习1】写出下列不等式成立的条件 （1）成立的条件是_______; （2）成立的条件是__________; （3）成立的条件是_________ （4）成立的条件是______ 【例3】已知，那么的最大值为 （A） （B） （C） （D） 【练习1】设,则在（1）（2）（3） （4）这四个不等式中，不正确的有 （A）个 （B）个 （C）个 （D）个 【练习2】已知,那么下列命题中正确的是 （A）若则 （B）若则 （C）若则 （D）若则 【练习3】若，则下列各式中正确的是 （A） （B） （C） （D） 【练习4】某工厂第一年的产量是，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为，则 （A） （B） （C） （D） 考点三