数列求和的四种常见类型 讲义-2024届高三数学一轮复习

数列求和的四种常见类型 葫芦岛长江卫生中等职业技术学校 数学组 赵闯 类型1．公式求和 已知数列的前项之积为. (1)求数列的通项公式; (2)设公差不为0的等差数列中，，___________，求数列的前项和. 请从①； ②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据当时，计算并检验成立即可得答案； （2）根据等差数列基本计算得，进而，再分组求和即可. 【详解】（1）解：当 时， 当时， 综上，； （2）解：若选①， 设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得 所以，， 所以，， 所以， 所以， 若选②， 设等差数列的公差为， 因为，所以， 又因为，所以，解得 所以，， 所以，， 所以， 所以， 类型2．裂项求和 ，则： . 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 类型3：错位相减 型如的数列求和，其基本解题步骤如下： Step1：由题可得： Step2：故①， ② Step3：由①－②得： Step4：化简： . 若等差数列的前n项和为，数列是等比数列，并且 ，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前n项和 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）设 的公差为d， 的公比为q， 依题意有： ， ，解得 （舍）， ， ； （2）令 ， ， …①， …②， ①-②得： ， ； （3） ， ； 综上， ，， . 类型4. 分组求和 主要用于通项由两部分不同形式构成的数列，其次还适用于一些几项放在一起可以化简的数列. . 在下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.①；②.已知为数列的前项和，满足，，______. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）条件选择见解析，;（2） 【解析】（1）选①，当时，则有，即，解得； 对任意的，因为，则， 故，即， 因，，所以定值， 故数列是首项，公差为的等差数列， 所以. 选②，因为，故， 所以，故数列是常数列， 所以，故. （2）知，，故， 对任意的，， 所以，即为数列的前项和， 因为，故数列为等差数列， 所以. ( 7 ) 学科网（北京）股份有限公司 $