第四章 三角恒等变换知识点总结梳理-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2019新教材北师大版 数学必修第二册 第四章知识点清单 目录 第四章 三角恒等变换 　　§1 同角三角函数的基本关系 　　§2 两角和与差的三角函数公式 　　§3 二倍角的三角函数公式 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第四章 三角恒等变换 §1 同角三角函数的基本关系 一、同角三角函数的基本关系式 1. 平方关系：sin2α+cos2α=1. 2. 商数关系：tan α= . 3. 公式的常见变形 (1)sin2α=1-cos2α；cos2α=1-sin2α. (2)sin α=±；cos α=±. (3)cos αtan α=sin α. (4)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. (5)1+tan2α= ；1+ = 二、由一个三角函数值求其他三角函数值 1. 已知角的正弦、余弦、正切中的一个值，利用同角三角函数的基本关系式可以“知一求二”. 2. 若题目中没有指出角终边所在的象限，则必须根据条件推断该角可能是第几象限角，再分情况加以讨论. 三、利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明 1. 利用同角三角函数的基本关系化简或证明时常用的方法 (1)化切为弦，即把正切函数化成正弦、余弦函数，从而达到化简的目的. (2)对于含有根号的三角函数式，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的. (3)对于含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造出“sin2α+cos2α”的形式，以降低次数，达到化简的目的. 2 / 2 四、关于sin α，cos α的齐次式的求值问题 1. 关于sin α，cos α的齐次式是指式子中的每一项都是关于sin α或cos α的式子，且每一项的次数相等，通常为一次齐次式、二次齐次式. 2. 当齐次式为分式时，可将分子与分母同除以cos α的n(n为齐次式的次数)次幂，此时分式的分子与分母都可化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求得式子的值. 3. 当二次齐次式为整式时，可将其视为分母为1的式子，然后将分母1用sin2α+cos2α替换，这时再将式子的分子与分母同时除以cos2α，即可化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求得式子的值. 五、利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值 1. 若已知sin α±cos α，sin αcos α 中的一个,则可以利用方程思想进一步求得sin α, cos α 的值，从而解决相关问题. 常涉及的三角恒等式有： (1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α； (2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α； (3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2； (4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin α·cos α. 2. 求sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α的值时，要注意结合角的范围进行符号判断. §2 两角和与差的三角函数公式 一、两角和与差的三角函数公式 名称 公式 简记 使用条件 两角和的余弦公式 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β Cα+β α，β∈R 两角差的余弦公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β Cα-β α，β∈R 两角和的正弦公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β Sα+β α，β∈R 两角差的正弦公式 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β Sα-β α，β∈R 两角和的正切公式 tan(α+β)= Tα+β α，β，α+β≠kπ+ (k∈Z) 两角差的正切公式 tan(α-β)= Tα-β α，β，α-β≠kπ+ (k∈Z) 二、知识拓展     1. 公式的记忆方法： (1)公式Cα+β，Cα-β可记为“同名相乘，符号反”. (2)公式Sα+β，Sα-β可记为“异名相乘，符号同”. (3)公式Tα+β，Tα-β的结构特征可记为“分子为正切的和或差，分母为1与正切的积的差或和”，符号规律可记为“分子同，分母反”. 2. 两角和与差的正切公式的变形： (1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α