第40讲 数列的概念与简单表示-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第40讲 数列的概念与简单表示 1. 数列的概念 (1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．数列可以看做是定义域为N*或其非空子集的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，其图像是一群孤立的点． 注：数列是特殊的函数，应注意其定义域，不要和函数的定义域混淆． (2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项(或称为 )，a2称为第2项，…，an称为第n项． 2. 数列的分类 (1)数列按项数的多少来分：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做 ． (2)按前后项的大小来分：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做 ；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做 ；各项相等的数列叫做 ． 3. 数列的通项公式 一般地，如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的 ． 注：并不是每一个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一． 4. 数列的表示方法 数列可以用 来描述，也可以通过 或 来表示． 1、下列可作为数列1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是　(　　) A. an＝ B. an＝ C. an＝2－sin D. an＝2－cos [(n－1)π] 2.、已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3是数列{an}中的(　　) A. 第2项 B. 第6项 C. 第2项或第6项 D. 第3项 3、在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝________． 4、 (2022·南京三模)写出一个同时具有下列性质①②③的数列{an}的通项公式：an＝________． ①数列{an}是无穷等比数列； ②数列{an}不单调； ③数列{|an|}单调递减． 5. 若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为an＝________；数列{nan}中最小的项是第________项． 考向一 已知数列的前几项求通项 例1　根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1) 4，6，8，10，…； (2) ，，，，，…； (3) ，，－，，－，，…； (4) 9，99，999，9 999，…. 变式、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1) 1，－，，－，…； (2) 2,0,2,0，…. 方法总结：已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑： (1) 负号用(－1)n与(－1)n＋1或(－1)n－1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错． (2) 公式形式的数列，分子、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系． (3) 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决． 考向二 由an与Sn的关系求通项an 例2　(1) 已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，求它的通项公式an； (2) 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－n，求它的通项公式an. 变式1、(1) 已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋1，求它的通项公式an； (2) 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－n＋1，求它的通项公式an. 变式2、已知数列{an}的前n项和Sn，求通项an． (1) Sn＝3n－1； (2) Sn＝n2＋3n＋1． 方法总结：由数列{an}的前n项和Sn，求通项an的问题，要分成两段：an＝不要遗漏n＝1的情形．因题(2)含字母b，首项是否满足，还需要对b进行分类讨论．本题侧重考查分类讨论的数学思想． 1、数列{an}的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项可能是(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 2、在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 3、（多选题）（2021·山东济南市·高三一模）年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线.如图，取一个边长为的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第个图形，重复上面的步骤，得到第个图形.这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线.云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”.下列说法正确的是（ ） A．第个图形的边长为 B．记第个图形的边数为，则 C．记第个图形的周长为，则 D．记第个图形的面积为，