22.1.1二次函数-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

九年级上册数学《第二十二章 二次函数》 22.1.1 二 次 函 数 知识点一 二次函数的定义及一般形式 ◆1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． ◆2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ◆3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【注意】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. ◆4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点二 根据实际问题列二次函数关系式 ◆二次根式有意义的条件是：根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 题型一 二次函数的概念 【例题1】（2022秋•小店区校级期末）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x+1 B．y C．y D．y＝2x2+1 解题技巧提炼 一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 【变式1-1】下列函数关系式中，y是x的二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x2 C．yx2+2x+5 D．y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2 【变式1-2】（2022秋•启东市校级月考）下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝x（﹣x+1） B．y＝ax2+bx+c C．y＝2x+3 D．y＝（x﹣1）2﹣x2 【变式1-3】（2022秋•颍州区校级期末）下列函数不属于二次函数的是（　　） A．y＝（x﹣1）（x+2） B．y（x﹣1）2 C．y＝1x2 D．y＝2（x+3）2﹣2x2 【变式1-4】下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 【变式1-5】（2022秋•金华期末）下列函数中，是二次函数的有（　　） ①； ②； ③y＝3x（1﹣3x）； ④y＝（1﹣2x）（1+2x）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 二次函数的一般形式 【例题5】把二次函数y＝﹣（x+3）2+11变成一般式是（　　） A．y＝﹣x2+20 B．y＝﹣x2+2 C．y＝﹣x2+6x+20 D．y＝﹣x2﹣6x+2 解题技巧提炼 二次函数的一般形式是y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【变式2-1】（2022秋•南岗区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c，下列说法错误的是（　　） A．a≠0 B．二次项为ax2 C．一次项系数为bx D．常数项为c 【变式2-2】将二次函数y＝x（x﹣1）+3x化为一般形式后，正确的是（　　） A．y＝x2﹣x+3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x 【变式2-3】（2022春•仓山区校级期末）二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．3 【变式2-4】（2023春•肇源县月考）将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5 【变式2-5】下列函数中，如果是二次函数，请把它化为一般式并指出相应的a、b、c的值． （1）y（x﹣1）（x+3）； （2）y＝x（2x）+13； （3）y＝3（x2+2）﹣3（1﹣x）2； （4）y＝（2x+3）（3x﹣4）﹣x（4x+1）． 题型三 根据二次函数的定义确定字母的取值范围 【例题3】（2022秋•榆树市期末）当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（　　） A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a≠﹣1 D．a≠1 解题技巧提炼 根据二次函数定义中的二次项的系数不为0建立不等式来解决问题. 【变式3-1】若y＝ax2+x﹣2+a是y关于x的二次函数，则a的取值范围是 　 　． 【变式3-2】（2022秋•宣州区期末）若关于x的函数y＝（a+1）x2﹣3ax﹣2+a是二次函数，则a必须满足的条件是　 　． 【变式3-3】若关于x的函数y＝（