专题1.12 特殊平行四边形（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.12 特殊平行四边形（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】菱形 1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2. 菱形的性质 边：四条边都相等. 即；对边平行.即，. 角：对角相等. 即， 对角线：对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角.即 平分，平分 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴. 3. 菱形的判定 （1）方法一（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2）方法二：四条边都相等的四边形是菱形. （3）方法三：对角线互相垂直的平行四边形菱形. 4. 菱形的面积：菱形的面积=底×高=两对角线乘积的一半. 即 【知识点2】矩形 1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2. 矩形的性质： 边：对边平行且相等. 即, 角：四个角都是直角.即 对角线：对角线相等且互相平分， 即 （4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴. 3. 矩形的判定 （1）方法一（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）方法二：有三个角是直角的四边形是矩形； （3）方法三：对角线相等的平行四边形是矩形. 【知识点3】正方形 1.正方形的定义：有一组邻边相等,并且有一个角是直角的的平行四边形叫做正方形. 2.正方形的性质 边：四条边都相等. 即；对边平行.即，. 角：四个角都是直角.即 对角线：对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组对角（对角线与边的夹角为45°）. 即 （4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴. 3.正方形的判定 （1）方法一（定义法）：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形. （2）方法二：一组邻边相等的矩形是正方形. （3）方法三：一个角是直角的菱形是正方形. （4）方法四：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形. （5）方法五：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形. 【考点一】特殊平行四边形性质与判定的理解 【例1】下列命题正确的是(   ) A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可． 解：A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确； B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误； C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误； D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误． 故选：A． 【点拨】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质． 【举一反三】 【变式1】下列判断错误的是（    ） A．邻边相等的四边形是菱形 B．有一角为直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 D．矩形的对角线互相平分且相等 【答案】A 【分析】根据菱形，矩形，正方形的判定以及矩形的性质分别判断即可． 解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，错误，符合题意； B、有一角为直角的平行四边形是矩形，正确，不符合题意； C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，不符合题意； D、矩形的对角线互相平分且相等，正确，不符合题意； 故选：A． 【点拨】本题考查菱形，矩形，正方形的判定以及矩形的性质，掌握基本判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式2】下列命题正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 C．对角线垂直且互相平分的四边形是矩形 D．对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定方法对①进行判断．根据菱形的判定方法对②进行判断；根据矩形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断． 解：A. 对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故选项A说法不正确； B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B说法不正确； C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项C说法不正确； D. 对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形,说法正确； 故选：D． 【点拨】本题考查了命题真假的判断以及平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定，根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项． 【考点二】特殊平行四边形性质➼➻求线段长★求角度★证明 【例2】如图，在矩形中，E，F分别为边，上的点．，对角线平分．    (1) 求证；四边形为菱形； (2) 已知，，求线段BF的长． 【答案】(1)见详解；(2). 【分析】（1）先根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边