第10讲 指数对数运算常考考点题型总结-2024年高考数学一轮复习考点方法题型总结（新高考专用）

第10讲 指数对数运算常考考点题型总结 考点一：指数及指数运算 一：有理数指数幂的运算 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于， 的负分数指数幂没有意义． 二：有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 考点二：对数式及其运算 ①对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． ②常见对数的写法： 1.一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； 2.常用对数：以为底，记为； 3.自然对数：以为底，记为； ③对数的性质： 1.特殊对数：；；其中且 2.对数恒等式：(其中且，) 3.对数换底公式： 如：． 倒数原理： 如：． 约分法则： ④对数的运算法则： 1.； 2.； 3.，； 4.和． 考点一：指数运算 【例1】若，，且满足，，则的值为（    ）. A．1 B．2 C． D． 【例2】若则 . 【例3】已知函数，若，则＝（       ） A．12 B．14 C．16 D．20 【例4】 ． 【跟踪训练】 1.已知，，那么2x+y的值为（    ） A．8 B．3 C．1 D．log23 2.求值： ． 3.设函数，若，则 . 4.已知，计算：； 考点二：对数运算 【例1】（2022·浙江·高考真题）已知，则（       ） A．25 B．5 C． D． 【例2】（多选题）已知函数，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【例3】（多选题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例4】若，则的值为（ ） A． B．3 C．4 D． 【例5】已知定义在上的奇函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【例6】若（），则的值为（　　） A．4 B．1或 C．1或4 D． 【例7】若且，则（ ） A． B． C． D． 【例8】数列中，．定义：使数列的前项的积为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于 . 【跟踪训练】 1.函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 2.已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3.若且，且，则（    ） A．2 B． C．3 D． 4.的值是（    ） A．1 B． C． D．2 5.已知，则的值为 ． 6.计算： ． 7.计算： . 8.若，则 （用含的式子表示）. 9.已知实数a，b满足且，则m＝ . 10.已知函数，则 ， . 考点三：指数对数式的应用题 【例1】（多选题）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，、为常数）．若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是（    ） A. B．储存温度越高保鲜时间越长 C．在℃的保鲜时间是小时 D．在℃的保鲜时间是小时 【例2】Logistic模型是常用的数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布的数据建立某地区流感累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，的值为（       ） A．60 B． C． D． 【例3】血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血等饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧2小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（    ） （精确到0.1，参考数据：，） A．2.9 B．3.0 C．0.9 D．1.0 【例4】荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天．（参考数据：，，） A．9 B．15 C．25 D．35 【例5】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公 布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的Logistic模型：，其 中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为()（