第04讲 对数与对数函数(高考高频考点）(11大题型+3类方法+1类易错）-【练透核心考点—新结构新定义】备战2025年高考数学一轮复习高频题型疯狂练（新教材新高考）

第04讲 对数与对数函数 目录 第一部分：题型篇 2 题型一：重点考查对数运算 2 题型二：重点考查对数函数的定义 3 题型三：重点考查对数换底公式 4 题型四：重点考查对数函数的定义域 4 题型五：重点考查对数函数的图象过定点 5 题型六：重点考查对数函数的值域（含对数型函数） 6 题型七：重点考查求对数函数的单调区间 7 题型八：重点考查对数函数的单调性及其应用 8 题型九：重点考查对数函数的综合性问题 9 题型十：重点考查对数函数模型的应用 12 题型十一：重点考查反函数的应用 15 第二部分：方法篇 16 方法一：可化为一元二次函数型 16 方法二：分类讨论 18 方法三：数形结合 20 第三部分：易错篇 21 易错一：求对数函数（复合函数）单调区间忽略定义域 21 第一部分：题型篇 题型一：重点考查对数运算 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算：． 例题2．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 精练高频考点 1．（24-25高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算下列各式的值． (1)； (2)． 题型二：重点考查对数函数的定义 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数（且），若它的图象经过，，则 ． 精练高频考点 1．（23-24高一·全国·课堂例题）下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 题型三：重点考查对数换底公式 典型例题 例题1．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）设，若，则 ． 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算下列各式的值． (1)； (2)． 精练高频考点 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·假期作业）设关于的方程的两个实根分别是. (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围. 题型四：重点考查对数函数的定义域 典型例题 例题1．（23-24高一上·上海·假期作业）求列函数的定义域： (1)； (2). 例题2．（2025高三·全国·专题练习）的定义域为，求实数的取值范围. 精练高频考点 1．（2024·青海海南）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·假期作业）设函数的定义域是，求实数的取值范围. 题型五：重点考查对数函数的图象过定点 典型例题 例题1．（23-24高一上·云南昭通·期末）（且）的图象恒过定点，幂函数过点，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数（且）过点，则经过点 . 精练高频考点 1．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）已知函数且恒过定点，则点的坐标为 . 2．（22-23高一上·河南南阳·期末）函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则 . 题型六：重点考查对数函数的值域（含对数型函数） 典型例题 例题1．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ． 例题2．（23-24高一上·上海·假期作业）设函数的值域是，求实数的取值范围. 例题3（23-24高一上·广东·期中）已知函数. (1)求方程的根； (2)求在上的值域. 精练高频考点 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）不等式的值域为，则a的取值范围是 ． 2．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）求的定义域和值域. 3．（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求m的值，并确定的解析式； (2)，求的定义域和值域. 题型七：重点考查求对数函数的单调区间 典型例题 例题1．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 例题3．（2024·江西九江·二模）若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 题型八：重点考查对数函数的单调性及其应用 典型例题 例题1．（23-24高二下·黑龙江·期末）若函数在上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）若，，，其中是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·陕西西安·期中）设函数，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 题型九：重点考查对数函数的综合性问题 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域和的值域. (2)证明：为偶函数并判断的单调性和奇偶性. (3)求关于的不等式的解集. 例题2．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知函数且． (1)求函数的定义域； (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的最小值． 例题3．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数. (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)求函数的值域； (3)求函数的单调区间； (4)若关于的不等式的解集，求实数的取值范围. 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求的值； (2)若，求函数的最小值． 2．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数，的零点分别是与． (1)若，解不等式； (2)已知， ①证明：； ②若，满足，求的最小值． 3．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 题型十：重点考查对数函数模型的应用 典型例题 例题1．（2024·广东）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 例题2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式（，为非零常数）给出，其中为声音能量.当声音强度，，满足时，声音能量，，满足的等量关系式为 ；当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝，当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是 . 例题3．（23-24高一·全国·课后作业）对数的运算性质在数学发展史上是伟大的成就． (1)对数运算性质的推导有很多方法，请同学们推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么； (2)因为，所以的位数为（一个自然数数位的个数，叫做位数），试判断的位数；（注：） (3)中国围棋九段棋手柯洁与机器人阿尔法狗曾进行了三局对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为．根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和约为，甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是．现有一种定义：若实数、满足，则称比接近，试判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由．（注：，） 精练高频考点 1．（多选）（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 2．（23-24高一上·重庆渝中·期末）我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已知它与“某声音的声压P与基准声压的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，即（k是比例系数）.当声压级S提高60dB时，声压P会变为原来的1000倍. (1)求声压级S关于声压P的函数解析式； (2)已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压，而一般当声压级S<45dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？并说明理由.（参考数据：lg2≈0.3） 3．（23-24高一·全国·单元测试）2012年9月19日凌晨3时10分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，以“一箭双星”方式，成功将第14和第15颗北斗导航卫星发射升空并送入预定转移轨道.标志着中国北斗卫星导航系统快速组网技术已日臻成熟.若已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为： (其中k≠0)．当燃料重量为吨(e为自然对数的底数，)时，该火箭的最大速度为5km／s． (1)求火箭的最大速度y(千米／秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式 . (2)已知该火箭的起飞重量是816吨，则应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到10千米／秒，顺利地把卫星发送到预定的轨道? 题型十一：重点考查反函数的应用 典型例题 例题1．（23-24高二下·山东德州·期末）已知分别是函数的零点，则（    ） A． B． C．3 D．4 例题2．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（    ） A． B． C． D． E．均不是 例题3．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ． 精练高频考点 1．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数的零点分别为，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的零点为，的零点为，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）设、分别是方程与的根，则 . 第二部分：方法篇 方法一：可化为一元二次函数型 典型例题 例题1．（2024高一上·江苏苏州·学业考试）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围. 例题2．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数． (1)求函数的最大值； (2)若关于的不等式对于任意的恒成立，求正实数的取值范围． 精练高频考点 1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 2．（23-24高一上·广东东莞·期中）（1）已知函数是奇函数，求的值； （2）若； ①化简；； ②对于任意都有，求k的取值范围. 方法二：分类讨论 典型例题 例题1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数且是奇函数． (1)求的值； (2)若，对任意有恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 例题2．（23-24高一上·山西·期中）已知函数. (1)当时，试判断在上的单调性，并用定义证明. (2)设，若，，求n的取值范围（结果用m表示）. 精练高频考点 1．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知. (1)若函数的值域为，求实数的取值范围； (2)若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 2．（23-24高一下·安徽滁州·期末）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)设函数的定义域为，若存在区间，满足：对任意，都存在使得，则称区间为的“区间”已知，若为函数的“区间”，求的最大值. 方法三：数形结合 典型例题 例题1．（24-25高三上·江西·开学考试）已知则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023高一下·海南·竞赛）已知，分别是方程和的根，则 . 精练高频考点 1．（多选）（2024·湖南怀化·二模）已知函数的零点为的零点为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 第三部分：易错篇 易错一：求对数函数（复合函数）单调区间忽略定义域 典型例题 例题1．（2024·吉林·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 例题2．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 精练高频考点 1．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 对数与对数函数 目录 第一部分：题型篇 2 题型一：重点考查对数运算 2 题型二：重点考查对数函数的定义 4 题型三：重点考查对数换底公式 6 题型四：重点考查对数函数的定义域 8 题型五：重点考查对数函数的图象过定点 9 题型六：重点考查对数函数的值域（含对数型函数） 11 题型七：重点考查求对数函数的单调区间 14 题型八：重点考查对数函数的单调性及其应用 17 题型九：重点考查对数函数的综合性问题 18 题型十：重点考查对数函数模型的应用 27 题型十一：重点考查反函数的应用 32 第二部分：方法篇 37 方法一：可化为一元二次函数型 37 方法二：分类讨论 40 方法三：数形结合 46 第三部分：易错篇 49 易错一：求对数函数（复合函数）单调区间忽略定义域 49 第一部分：题型篇 题型一：重点考查对数运算 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算：． 【答案】. 【分析】利用指数运算律和指对数恒等式，来计算即可. 【详解】 ． 例题2．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2； (2)； (3)； (4)-4. 【分析】利用对数的运算法则，进行同底的对数运算即可. 【详解】（1）原式 ． （2）（方法一） 原式 ． （方法二） 原式． （3）分子； 分母． 原式． （4）原式． 精练高频考点 1．（24-25高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】根据对数以及指数运算法则计算即可得到结果； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换底公式计算可得； （2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【详解】（1） ； （2） ． 题型二：重点考查对数函数的定义 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】根据对数函数的定义进行判断即可． 【详解】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合. 故答案为：②. 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数（且），若它的图象经过，，则 ． 【答案】8 【分析】先将坐标代入函数中求出的值，从而可求出函数解析式，再将代入函数中可求出. 【详解】因为的图象经过，所以， 所以，因为，所以， 所以， 因为点在函数图象上，所以. 故答案为：8 精练高频考点 1．（23-24高一·全国·课堂例题）下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】在对数函数的定义表达式（且）中，前面的系数必须是1，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数， 所以只有选项C满足定义. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 【答案】3 【分析】由题意可得，且，且，从而可求出的值. 【详解】因为函数是以为自变量的对数函数， 所以，解得. 故答案为：3 题型三：重点考查对数换底公式 典型例题 例题1．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）设，若，则 ． 【答案】3 【分析】利用换底公式将已知转化为关于的一元二次方程求解即可. 【详解】由 整理得：，解得或， 即（舍去）或. 故答案为：3 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换底公式计算可得； （2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【详解】（1） ； （2） ． 精练高频考点 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数换底公式和对数运算性质即可求解. 【详解】，，则 ， 即. 故选：. 2．（23-24高一上·上海·假期作业）设关于的方程的两个实根分别是. (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则关于的方程的两根为和，根据计算可得； （2）列出韦达定理，再利用换底公式将化为，再结合的范围计算可得. 【详解】（1）因为，即， 设，则关于的方程的两根为和， 所以，解得； （2）由韦达定理，得， 所以 ， 因为且，所以或， 所以或， 所以的取值范围为. 题型四：重点考查对数函数的定义域 典型例题 例题1．（23-24高一上·上海·假期作业）求列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）要使函数有意义，需满足，解得且， 所以函数定义域为. （2）当时，要使函数有意义，需满足，解得， 所以函数定义域为； 当时，要使函数有意义，需满足，解得， 所以函数定义域为； 例题2．（2025高三·全国·专题练习）的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意，结合对数函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 即不等式恒成立，则满足， 解得，即，所以实数的取值范围为. 精练高频考点 1．（2024·青海海南）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得到不等式组，解出即可. 【详解】∵函数， ∴，解得． 故选：D． 2．（23-24高一上·上海·假期作业）设函数的定义域是，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据对数函数的概念可知在上恒成立，然后利用二次函数的性质求解即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以在上恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 题型五：重点考查对数函数的图象过定点 典型例题 例题1．（23-24高一上·云南昭通·期末）（且）的图象恒过定点，幂函数过点，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质可求得定点，由幂函数的概念设，由条件列式求出，进而可得答案. 【详解】，令，得，， 则（且）恒过定点， 设，则，即，即，∴， 故选：D. 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数（且）过点，则经过点 . 【答案】 【分析】先求出经过的定点，再证明与是一对反函数，即可得到经过的定点. 【详解】由（且）可知，时，，则点为， 由可得，两边取对数得，，交换可得，， 即与是一对反函数，图象关于轴对称， 故经过点. 故答案为： 精练高频考点 1．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）已知函数且恒过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】令即可得定点. 【详解】令得，此时， 即函数且恒过定点. 故答案为： 2．（22-23高一上·河南南阳·期末）函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则 . 【答案】 【分析】先由对数函数的性质求得定点，再利用幂函数的定义，结合待定系数法即可得解. 【详解】因为的图象恒过定点， 令，则，，则， 设，则，得，故， 故答案为：. 题型六：重点考查对数函数的值域（含对数型函数） 典型例题 例题1．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先判断出在上单调递增，在上单调递减，然后作出与在上的图象，求出在上的值域，再结合图象可求得结果. 【详解】当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，为， 作出与在上的图象如图所示： 当，时，，此时， 此时， 因为的值域为，则时，必有解，即，解得，由图知, 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参数的范围，解题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题. 例题2．（23-24高一上·上海·假期作业）设函数的值域是，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】设的值域为A，分析可得，分和两种情况，结合二次函数性质分析求解. 【详解】设的值域为A， 若函数的值域是，可得， 若，可得的值域为，符合题意； 若，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围. 例题3（23-24高一上·广东·期中）已知函数. (1)求方程的根； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程的解法，结合对数的定义，可得答案. （2）根据复合函数的性质，结合对数函数、指数函数、二次函数的单调性，可得答案. 【详解】（1）由，可得，整理可得， 分解因式可得，由，解得，则. （2）由，根据函数在上单调递增，则， 令，， 根据二次函数的性质，则， 由函数在上单调递增，则. 精练高频考点 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）不等式的值域为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可知，是函数的值域的子集，利用即可解得或. 【详解】根据题意可知，函数的值域应取遍内的所有实数， 即需满足，解得或； 所以a的取值范围是. 故答案为： 2．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）求的定义域和值域. 【答案】定义域为R，. 【分析】利用对数的真数大于0，可求函数的定义域；利用函数的单调性，可求函数的值域. 【详解】 设，则. 因为恒成立，所以函数的定义域为R. 因为对数的底数，所以是[3，+∞）上的增函数 所以函数的值域为. 3．（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求m的值，并确定的解析式； (2)，求的定义域和值域. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据幂函数的定义求解，再由单调性检验即可得解； （2）根据对数型函数的定义域求定义域，由换元法结合对数函数性质求值域. 【详解】（1）因为函数为幂函数, 则，解得或. 当时，在上单调递增，满足条件. 当时，在上单调递减，不满足条件. 综上所述， （2）由(1)知， 由解得， 所以的定义域为. 设，则， 此时的值域，就是函数的值域. 在区间上是增函数，所以； 所以函数的值域为. 题型七：重点考查求对数函数的单调区间 典型例题 例题1．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性可得且，解之即可求解. 【详解】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减， 所以且，解得． 即实数a的取值范围为 故选：B 例题2．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】利用对数型复合函数单调性的判断原则即可求解. 【详解】由得，解得：或， 故函数的定义域是； 令， 则是减函数. 根据复合函数“同增异减”的原则，求的单调递减区间即求在定义域内的单调递增区间， 因为的单调递增区间为， 故函数的单调递减区间为. 故答案为：. 例题3．（2024·江西九江·二模）若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性结合函数求解. 【详解】函数在上单调递减， 由函数在定义域内单调递增，所以函数在上单调递减且恒大于0， 则有，解得. 故选：C 精练高频考点 1．（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数与复合函数的单调性，可得内函数的单调性，利用其最值以及二次函数单调性，建立不等式，可得答案. 【详解】令，则． 当时，在上单调递增， 则由复合函数的单调性可知在上单调递增， 且在上恒成立， 所以，解得或（舍去）． 所以在上单调递增， 则，解得． 当时，在上单调递减， 则由复合函数的单调性可知在上单调递减， 且在上恒成立， 所以，解得或（舍去）． 所以在上单调递减， 则，解得，与矛盾． 综上所述，. 故选：C． 2．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数，令，即，解得， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 函数在定义域上单调递增， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 故选：A 题型八：重点考查对数函数的单调性及其应用 典型例题 例题1．（23-24高二下·黑龙江·期末）若函数在上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分和讨论，则得到相应不等式组，解出即可. 【详解】当时，当在上单调递增时，有，解得； 当时，当在上单调递减时，有，解得. 综上，a的取值范围是. 故选：D. 例题2．（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）若，，，其中是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用对数函数单调性判断大小即可. 【详解】因为单调递增，又,所以,可得; 又因为单调递增，又,所以,所以,可得, 所以. 故选：B. 精练高频考点 1．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用指数对数函数的单调性，借助中间值可解. 【详解】根据对数函数单调递减知道，； 根据指数函数单调递减知道，； 根据指数函数单调递增知道，； 故. 故选：A. 2．（23-24高一下·陕西西安·期中）设函数，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】由分段函数定义，对数的运算性质及对数函数单调性，计算即可得到所求和. 【详解】因为在单调递增，所以， 所以， 则， 故选：D. 题型九：重点考查对数函数的综合性问题 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域和的值域. (2)证明：为偶函数并判断的单调性和奇偶性. (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2)证明见解析，的递减区间是，非奇非偶函数； (3)答案见解析. 【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式组求出的定义域；利用参变分离法求出的值域. （2）利用定义证明为偶函数；借助反比例函数求出的单调区间，利用定义判断奇偶性. （3）分类讨论解对数不等式. 【详解】（1）在函数中，，解得， 所以函数的定义域为； 函数，而，，因此， 所以函数的值域为. （2）由（1）知，函数的定义域为，， 所以函数是偶函数； 函数的定义域为，函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间是， 由于在函数的定义域内，而2不在函数的定义域内，即定义域关于0不对称， 所以函数是非奇非偶函数. （3）当时，， 不等式， 当时，，即，而，解得， 当时，，而，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 例题2．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知函数且． (1)求函数的定义域； (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）分和两种情况解指数不等式即可； （2）当时，令，原不等式化简为，恒成立，令，且，则，通过基本不等式得，即可求实数的取值范围. 【详解】（1）令关于的不等式，有． ①当时，解不等式，可得， 此时函数的定义域为； ②当时，解不等式，可得， 此时函数的定义域为； （2）当时，函数的定义域为， 令， 有 ， 令，可得， 因为，所以， 有， 由，当且仅当时取等号， 有，有， 所以，故的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题考查了对数函数有关的定义域、单调性、最值的问题，第二问解题的关键在于令，并化简，然后使用换元法及基本不等式求解. 例题3．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数. (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)求函数的值域； (3)求函数的单调区间； (4)若关于的不等式的解集，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4) 【分析】（1）将函数解析式化简为，根据奇函数的定义求出的值； （2）分与两种情况讨论，当时利用基本不等式求出的范围，即可求出函数的值域； （3）结合指数函数、对勾函数及对数函数的性质计算可得； （4）依题意可得，求出不等式的解集，再根据集合的包含关系求出的范围. 【详解】（1）因为 ， 又为奇函数，所以， 即， 即，所以， 解得，所以； （2）因为， 当时， 当时，当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 综上可得：当时的值域为，当时的值域为. （3）因为， 当时，为常数函数，不具有单调性； 当时在定义域上单调递增，且当时，当时， 在上单调递减，在上单调递增， 在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时在定义域上单调递减，且当时，当时， 在上单调递减，在上单调递增， 在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时不具有单调性； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为. （4）因为的定义域为，且， 所以为偶函数， 当时恒成立，即不等式的解集为，不符合题意； 当时不等式，即， 所以，即， 又为偶函数，且在上单调递增， 所以，解得，即不等式的解集为， 因为，所以，所以或， 所以实数的取值范围为. 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求的值； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，则在定义域内为减函数，再根据已知条件列方程可求出的值； （2）由得，对函数化简后换元得，然后利用二次函数的性质可求出其最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以在上为严格减函数， 因为函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即，解得． （2）因为，所以， 所以， 令，则，， 所以当，即时，取最小值为． 2．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数，的零点分别是与． (1)若，解不等式； (2)已知， ①证明：； ②若，满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)① 证明见解析；② 【分析】（1）结合对数运算规则和对数函数的单调性直接求解即可. （2）对于①，根据零点定义得和，进而得，再对取值进行分类讨论即可求解；对于②，由已知条件结构特征得，再结合消去以及结合整理得，进而通过函数的单调性和最值即可求解. 【详解】（1）由题意知， 则有，即，又是增函数， 故，所以不等式的解集为. （2）①由题意知，，且， 则有， 故当时，则即，矛盾，不符合题意； 当时，则即，矛盾，不符合题意； 当时，则即，解得； 综上所述，． ②由知，， 即 因为，所以， 即， 设，令， 因为和均为上的增函数， 所以在上单调递增，且， 所以，所以的最小值为. 【点睛】关键点睛：对于②中求的最小值的关键是将和分别进行加和减得到以及将与联系起来，进而将已知条件转化成，从而借助函数的单调性和最值得解. 3．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可； （2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可. 【详解】（1） ， ，， 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. （2）由，得， 即，， 设，则当，，， ， 设， 由题意，是当时，函数的值域的子集. ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得. ②当，即时，函数在上单调递减， 则不等式组无解. ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得， 令，得，均不合题意. 综上所述，实数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解. 题型十：重点考查对数函数模型的应用 典型例题 例题1．（2024·广东）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由结合对数运算可求得的值，由于，可得出、，结合对数函数的单调性可出结论. 【详解】由题意，得， 则，因此， ，则， ，则. 故选：A. 例题2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式（，为非零常数）给出，其中为声音能量.当声音强度，，满足时，声音能量，，满足的等量关系式为 ；当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝，当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是 . 【答案】 【分析】由得，，利用对数的运算化简可得；根据题意列方程组解出，，从而，再利用对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】①由题知，， 当时，有， 整理得，， 因为，所以. ②由题知，，即， 解得，， 所以. 由，得，， 因为函数为上的增函数，所以， 故火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是. 故答案为：；. 例题3．（23-24高一·全国·课后作业）对数的运算性质在数学发展史上是伟大的成就． (1)对数运算性质的推导有很多方法，请同学们推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么； (2)因为，所以的位数为（一个自然数数位的个数，叫做位数），试判断的位数；（注：） (3)中国围棋九段棋手柯洁与机器人阿尔法狗曾进行了三局对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为．根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和约为，甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是．现有一种定义：若实数、满足，则称比接近，试判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由．（注：，） 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)甲同学的近似值更接近，理由见解析 【分析】（1）利用对数的恒等式结合指数的运算性质可证得结论成立； （2）利用对数运算性质计算出的近似值，即可得出的位数； （3）由题意可得出，比较与的大小关系，即可得出结论. 【详解】（1）解：若，且，，，则， 化为对数式得． （2）解：令，所以， 因为，所以， 所以，所以的位数为． （3）解：根据题意，得， 所以， 所以， 因为， 所以，所以， 所以，所以甲同学的近似值更接近． 精练高频考点 1．（多选）（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 【答案】CD 【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出，再判断D即可. 【详解】由题意得，故有， 左右同时取对数得，故得，故A错误， 当时，，故B错误， 而当时，， 得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确， 由题意得，化简得， ， 将代入其中，可得，故D正确. 故选：CD 2．（23-24高一上·重庆渝中·期末）我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已知它与“某声音的声压P与基准声压的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，即（k是比例系数）.当声压级S提高60dB时，声压P会变为原来的1000倍. (1)求声压级S关于声压P的函数解析式； (2)已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压，而一般当声压级S<45dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？并说明理由.（参考数据：lg2≈0.3） 【答案】(1) (2)不会，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件代入具体数据即可求出参数的值，从而确定解析式 （2）将声压级代入解析式求出声压，根据求出叠加后的声压，代入解析式可求出对应的声压级，与45比较大小，判断是否会干扰学习 【详解】（1）由题意得： ，，所以，所以声压级S关于声压P的函数解析式为 （2）不会干扰我们正常的学习，理由如下： 将代入得：，所以，解得：，即所以，代入得：，所以不会干扰我们正常的学习. 3．（23-24高一·全国·单元测试）2012年9月19日凌晨3时10分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，以“一箭双星”方式，成功将第14和第15颗北斗导航卫星发射升空并送入预定转移轨道.标志着中国北斗卫星导航系统快速组网技术已日臻成熟.若已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为： (其中k≠0)．当燃料重量为吨(e为自然对数的底数，)时，该火箭的最大速度为5km／s． (1)求火箭的最大速度y(千米／秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式 . (2)已知该火箭的起飞重量是816吨，则应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到10千米／秒，顺利地把卫星发送到预定的轨道? 【答案】(1) (2) 应装载516吨 【详解】试题分析：（1）依题意，把代入函数关系式，可求的值，从而可求函数解析式；（2）设应装载x吨燃料方能满足题意，此时，，代入（1）中函数关系式，即可求得. 试题解析：(1)依题意，把代入函数关系，解得k=10，所以所求的函数关系式为 (2)设应装载x吨燃料方能满足题意， 此时，代入函数关系式，得，解得吨，故应装载516吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道． 题型十一：重点考查反函数的应用 典型例题 例题1．（23-24高二下·山东德州·期末）已知分别是函数的零点，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意可得函数与直线的交点为，与直线的交点为，而与互为反函数，则由反函数的性质可得和关于直线对称，从而得，，进而可求得答案. 【详解】由题意可得函数的零点为函数与直线的交点的横坐标， 则两函数图象的交点坐标为， ， 函数的零点为函数与直线的交点的横坐标， 则两函数图象的交点坐标为，， 因为与互为反函数，其图象关于直线对称，直线也关于直线对称， 所以点和关于直线对称， 所以， 所以. 故选：C 例题2．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【分析】由与关于直线对称，关于直线对称可得与为同一点即可求得结果. 【详解】由已知条件可知，，， 令，，， 如图所示， 曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称， 设曲线分别与曲线，交于点， ， 则点，关于直线对称， 而点关于直线对称的点为，即为点， 则，即. 故选：C. 例题3．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ． 【答案】3 【分析】先把转化为函数，，与的交点的横坐标，再利用与互为反函数，可得，又，所以. 【详解】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是. 因为，互为反函数，其图象关于直线对称，与垂直，所以. 又，所以. 所以. 故答案为：3 精练高频考点 1．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数的零点分别为，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查函数的零点问题，指数函数与对数函数互为反函数，令，利用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出，即可求的值． 【详解】由题意，， 令， 因为与互为反函数，两个函数的图象关于直线对称， 且的图象也关于直线对称， 设， 则关于直线对称， 所以且 由可得， 所以． 由可得， 所以， 又代入上式可得， 则． 故选：A． 2．（多选）（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的零点为，的零点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可. 【详解】∵函数的零点为，的零点为， ∴函数与函数图象的交点的横坐标为， 函数与函数图象的交点的横坐标为， 作函数、函数、函数的图象如图6，点A的横坐标为，点B的横坐标为， ∵函数与函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称， ∴点A、B关于直线对称，又∵点A、B在直线上，∴点A、B关于原点对称， 对于A：∴，故选项A错误； 对于B：易知，故选项B正确； 对于C：∵，，，∴，即选项C正确； 对于D：由零点存在定理易知，，∴，即，，故选项D正确， 故选:BCD． 3．（2024高三·全国·专题练习）设、分别是方程与的根，则 . 【答案】 【分析】根据题意数形结合，分别作出函数，，的图象，利用反函数的对称性求解即可. 【详解】如图，分别作出函数，，的图象， 且函数与、分别相交于点，. 由题意，．而与互为反函数， 直线与直线互相垂直，所以点与关于直线对称. 所以.所以. 故答案为：. 第二部分：方法篇 方法一：可化为一元二次函数型 典型例题 例题1．（2024高一上·江苏苏州·学业考试）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）换元令，结合二次函数的性质求值域； （2）换元令，整理可得在上有解，根据存在性问题分析求解. 【详解】（1）因为， 由对数函数单调性可知，当时，， 令，，即可得，， 可知的开口向上，对称轴为， 由二次函数性质可知当时，，当时，， 所以可得当时，函数的值域为. （2）当时，可得，令，， 可得，即在上有解， 整理可得在上有解， 因为函数在上单调递增，当时， 所以的取值范围是. 例题2．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数． (1)求函数的最大值； (2)若关于的不等式对于任意的恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用对数的运算性质化简，令，结合二次函数即可求出函数的最大值； （2）将恒成立问题转化成，借助（1）的结论，解不等式即可. 【详解】（1）因为， 令， 可得， 所以当且仅当，即时，函数取到最大值1． （2）由（1）可得：当且仅当，即时，函数取到最大值6， 所以，即，且， 解得，即， 故实数的取值范围为． 精练高频考点 1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 【答案】/ 【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据二次函数的性质即可得解. 【详解】由，解得， ， 当时，取得最大值. 故答案为：. 2．（23-24高一上·广东东莞·期中）（1）已知函数是奇函数，求的值； （2）若； ①化简；； ②对于任意都有，求k的取值范围. 【答案】（1）；（2）①，；②. 【分析】（1）方法一：根据奇函数的定义可解得.方法二：根据奇函数的图象经过原点可解得； （2）①根据对数的运算性质化简即可；②换元转化成二次不等式讨论，变量分离，再用基本不等式可得答案. 【详解】（1）方法一：由已知可得，函数的定义域， ∵是奇函数， ∴， 又∵，， ∴ ∴，即. 方法二：由已知可得，函数的定义域， ∵是奇函数， ∴函数的图象经过原点，即， ∴，即， 当时，是奇函数. 证明如下：∵， ∴， ∴是奇函数. （2）①∵， ∴，. ②由得. 令，∵，∴， ∴，对一切恒成立， 当时，恒成立；即， ∵，当且仅当，即时等号成立.∴的最小值为， ∴，∴实数k的取值范围为. 方法二：分类讨论 典型例题 例题1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数且是奇函数． (1)求的值； (2)若，对任意有恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在这样的实数，使得其成立 【分析】（1）先根据函数为奇函数，求得，结合函数的奇偶性，即可求解； （2）根据题意，转化为对任意有恒成立，设，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解； （3）由，求得，得到，设，根据题意，转化为，结合对数函数的性质，以及二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由函数且是奇函数， 可得，即，可得， 经验证：当时，，满足， 此时函数为奇函数，符合题意. （2）解：由，可得为单调递减函数， 因为对任意有恒成立， 即对任意有恒成立， 设，则函数开口向上的抛物线，且对称轴为， 当时，即时，此时函数在区间上单调递增， 则，解得； 当时，即时，此时函数在对称轴处取得最小值， 则，解得，因为，此时无解； 当时，即时，此时函数在区间上单调递减， 则，解得，因为，此时无解； 综上可得，实数的取值为. （3）解：由，可得，解得或（舍去），所以， 则， 设，则， 当时，可得，此时， 又由， 则当时，在上的最小值为； 当时，在上的最大值为； 设， 当时，函数在处取得最小值， 此时，解得（舍去）； 当时，函数的对称轴为， 函数在处取得最大值，此时，解得（舍去）； 当时，函数的对称轴为， 函数在处取得最大值，此时， 综上可得，不存在这样的实数，使得其成立. 例题2．（23-24高一上·山西·期中）已知函数. (1)当时，试判断在上的单调性，并用定义证明. (2)设，若，，求n的取值范围（结果用m表示）. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用单调性的定义计算即可证明； （2）令，将条件不等式化为，分离参数得，利用二次函数的性质分类讨论求其最小值即可. 【详解】（1）在上单调递增. 证明如下：任取，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上单调递增； （2）令，因为，所以. 由，得， 因为，所以， 令，得在上有解，则. 当，即时，； 当，即时，. 综上，当时，n的取值范围为；当时，n的取值范围为. 精练高频考点 1．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知. (1)若函数的值域为，求实数的取值范围； (2)若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) (3)或5 【分析】（1）根据题意，由对数函数的定义域列出不等式，即可得到结果； （2）根据题意，由复合函数的单调性，分在上为增函数与在上为减函数讨论，即可得到结果； （3）根据题意，由换元法，结合二次函数的值域，分类讨论，即可得到结果. 【详解】（1）由题意得，中的，解得：或. （2）因为为增函数，函数在区间上为单调函数， 则当时，函数为单调函数，且在上恒成立， 函数的对称轴为， ①若在上为增函数，则，解得， ②若在上为减函数，则，解得， 综上，； （3）由已知，，令，当时，， ①若，则函数在上递增，所以， 解得， ②若，则，解得， 不合要求， ③若，则函数在上递减，所以， 解得， 综上，或5. 2．（23-24高一下·安徽滁州·期末）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)设函数的定义域为，若存在区间，满足：对任意，都存在使得，则称区间为的“区间”已知，若为函数的“区间”，求的最大值. 【答案】(1)当时，的最大值为1；当时，的最大值为． (2)1 【分析】（1）根据条件分，和三种情况，判断的单调性，然后求出最大值； （3）根据定义分和两种情况求出的值域，然后结合“区间”的定义和恒成立思想，求出的最大值． 【详解】（1）函数的图象如图所示，    由题意知，， ①若，则在,上单调递减， 可得的最大值为； ②若，则在,上单调递减，在,上单调递增， 可得， 所以的最大值为 1； ③若，则在,上单调递减，在,上单调递增， 可得， 所以函数的最大值为， 综上，当时，的最大值为1， 当时，的最大值为． （2）当时，在上的值域为，在上的值域为， 因为满足：对任意，都存在使得， 所以，成立 此时为函数的“区间”， 当时，在上的值域为，在上的值域为， 当时，，所以，， 即存在，对任意，使得， 所以不为函数的“区间”， 所以的最大值是. 方法三：数形结合 典型例题 例题1．（24-25高三上·江西·开学考试）已知则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断在上的单调性，将不等式等价于，由一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】，可得当时，单调递减，当时，单调递减，且时函数连续，则在上单调递减， 不等式，可化为，即， 解得：，则原不等式的解集为：， 故选：A 例题2．（2023高一下·海南·竞赛）已知，分别是方程和的根，则 . 【答案】 【分析】 把方程的根转化为函数图象交点的横坐标，再利用反函数的性质求解即可. 【详解】方程的根是对数函数与直线的交点的横坐标， 方程的根是指数函数与直线的交点的横坐标， 对数函数和指数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 联立，可得，所以. 故答案为：. 精练高频考点 1．（多选）（2024·湖南怀化·二模）已知函数的零点为的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用函数零点的意义，结合函数与互为反函数，确定的关系，再逐项分析判断得解. 【详解】依题意，，， 则分别是直线与函数，图象交点的横坐标， 而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称， 又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称， 则，于是，，，BC正确，A错误； ，即，D错误. 故选：BC    2．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】借助指数函数、对数函数的性质可得A、B、C；借助三角函数诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得D. 【详解】对A：因为函数是单调递减函数，所以； 函数在上单调递增，所以， 即，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：作出函数，，的函数图象，如下图所示： 当时，可知；故C错误； 对D：， ， ， 所以，故D错误． 故选：AB． 第三部分：易错篇 易错一：求对数函数（复合函数）单调区间忽略定义域 典型例题 例题1．（2024·吉林·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，设，则，利用复合函数的单调性，可得在上为减函数，且恒成立，结合一次函数的性质分析可得答案． 【详解】解：根据题意，设，则，若函数在上单调递减， 利用复合函数的单调性，可得在上为减函数且恒成立， 即，解得，即a的取值范围为． 故答案为：． 例题2．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】利用对数型复合函数单调性的判断原则即可求解. 【详解】由得，解得：或， 故函数的定义域是； 令， 则是减函数. 根据复合函数“同增异减”的原则，求的单调递减区间即求在定义域内的单调递增区间， 因为的单调递增区间为， 故函数的单调递减区间为. 故答案为：. 精练高频考点 1．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性可得且，解之即可求解. 【详解】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减， 所以且，解得． 即实数a的取值范围为 故选：B 2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得. 【详解】由可得，，解得， 故的定义域为， 由为增函数， 令，对称轴为， 故其单调递减区间为， 所以的单调递减区间为. 故选：D. 学科网（北京）股份有限公司 $$