第07讲 函数模型及其应用（3类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第07讲 函数模型及其应用（核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年新I卷，第10题,5分 对数函数模型的应用 对数的运算性质的应用 由对数函数的单调性解不等式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他函数知识点考查，需要掌握函数的图象与性质，难度中等偏下，分值为5分 【备考策略】1.会选择合适的函数类型来模拟实际问题的变化规律. 2.会比较一次函数、二次函数、幂函数、对数函数、指数函数增长速度的差异 3.了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用 【命题预测】本节内容通常考查给定实际问题选择用合适的函数解析式来模拟或求对应的实际应用值，是新高考复习的重要内容 知识讲解 1．三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 2.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 3．解函数模型问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 考点一、指数函数模型 1．（2023·重庆·校联考模拟预测）生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量（单位：mg）与时间（单位：年）近似满足关系式，其中为抗生素的残留系数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得，从而可求出. 【详解】解：因为抗生素的残留量（单位：mg）与时间（单位：年）近似满足关系式，当时，， 所以，， 所以，即，解得. 故选：D 2．（2023·福建漳州·统考三模）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过物体的温度将满足，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有的物体，若放在的空气中冷却，经过物体的温度为，则若使物体的温度为，需要冷却（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知函数模型和冷却的数据可求得，再代入所求数据，解方程即可求得结果. 【详解】由题意得：，即，， ， 由得：，即，解得：， 若使物体的温度为，需要冷却. 故选：C. 1．（2023·江西·校联考二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式.若花同样的钱买到的级草莓比级草莓多倍，且级草莓的市场销售单价为元千克，则级草莓的市场销售单价最接近（    ）（参考数据：，） A．元千克 B．元千克 C．元千克 D．元千克 【答案】C 【分析】由指数运算，可得，求得的值. 【详解】由题可知，由则 . 故选：C. 2．（2023·山东德州·三模）2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGPT”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（    ） A