第06讲 函数与方程（4类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第06讲 函数与方程（核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年新I卷，第15题,5分 根据函数零点的个数 求参数范围 余弦函数图象的应用 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义，难度中等偏下，分值为5分 【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个数 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理 3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解 【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容 知识讲解 1、 函数的零点 一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。 2、 零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得 注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在 3、 函数单调性对零点个数的影响 如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续） （1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点 （2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点 （3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0 5、零点与单调性配合可确定函数的符号 是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时， 6、判断函数单调性的方法 （1）可直接判断的几个结论： ① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数 ② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数 ③ 若为增函数，且，则为增函数 （2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”） （3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象 7、证明零点存在的步骤 （1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 考点一、求函数的零点 1．（2022·安徽宣城·统考二模）已知数列{an}为等差数列，若a1，a6为函数的两个零点，则a3a4＝（    ） A．-14 B．9 C．14 D．20 【答案】D 【分析】由韦达定理得a1+a6＝9，a1a6＝14，解得a1＝2，a6＝7，或a1＝7，a6＝2，分类讨论即可得到答案. 【详解】∵等差数列{an}中，a1，a6为函数的两个零点， ∴a1＝2，a6＝7，或a1＝7，a6＝2， 当a1＝2，a6＝7时，，a3＝4，a4＝5，所以a3a4＝20． 当a1＝7，a6＝2时，，a3＝5，a4＝4，所以a3a4＝20． 故选：D． 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到函数的零点问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 2．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，然后根据二倍角公式结合齐次式即得. 【详解】因为是函数的一个零点， 所以，即，故， 则． 故选：D． 1．（2023·北京·统考模拟预测）的零点为________． 【答案】 【解析】解方程，即可得出答案. 【详解】令，则或，解得 故答案为： 2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则______． 【答案】2 【分析】根据零点的定义，等价转化为两个函数求交点，根据反函数的定义，结合对称性，可得答案. 【详解】由，得， 函数与互为反函数， 在同一坐标系中分别作出函数，，的图象， 如图所示，则，，由反函数性质知A，B关于对称， 则，. 故答案为：. 考点二、求函数零点或方程根或图象交点个数 1．（湖南·高考真题）函数的图象与函数的图象的交点个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点． 2．（全国·高考真题）