5.3第二课时函数的最大小值课件-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

1 第二课时　函数的最大(小)值 科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线． [问题]　(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？ (2)设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？ (3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　函数的最大值与最小值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A. (1)如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有 ，那么称 为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)； (2)如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称 为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)． f(x)≤f(x0) f(x0) f(x0) 对函数最大值和最小值的再理解 (1)f(x0)首先是一个函数值，它是值域中的一个元素； (2)最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝f(x0)的上(下)方． 如果函数f(x)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M，那么M一定是函数f(x)的最大值吗？ 提示：不一定．如函数f(x)＝－x2≤1恒成立，但是1不是函数的最大值． 答案：－1　2 1．下列对函数f(x)＝2x－1(x<0)的说法中，正确的是________．(填序号) ①有最大值；②有最小值；③既有最大值又有最小值；④既无最大值又无最小值． 答案：④ 2．函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、 最大值分别是________，________． 答案：4 3．函数f(x)＝eq \f(2,x)，x∈[2，4]，则f(x)的最大值为______；最小值为________． 答案：1　eq \f(1,2) 4．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________． 解析：函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上是增函数，又因为x∈N*，所以当x＝1时，ymin＝2×12＋2＝4. 求函数的最值 角度一　利用函数的图象求最值 [例1]　(链接教科书第112页例3)函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 (　　) A．－2，f(2)　　　　　　　 B．2，f(2) C．－2，f(5) D．2，f(5) [解析]　由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)． [答案]　C 用图象法求最值的3个步骤 角度二　利用单调性求函数的最值 [例2]　(2021·江苏苏州联考)函数y＝2x＋eq \r(x－1)的最小值为________． [解析]　法一(单调性法)：显然函数y＝2x＋eq \r(x－1)的定义域为[1，＋∞)，因为函数y＝2x与y＝eq \r(x－1)在定义域[1，＋∞)上均是增函数，故y＝2x＋eq \r(x－1)在[1，＋∞)上是增函数，所以当x＝1时，ymin＝2＋eq \r(1－1)＝2，即函数y＝2x＋eq \r(x－1)的最小值为2. 法二(换元法)：令eq \r(x－1)＝t，则t≥0，x＝t2＋1，所以原函数转化为f(t)＝2t2＋t＋2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,4))) eq \s\up12(2)＋eq \f(15,8)，易知在t∈[0，＋∞)时，函数f(t)单调递增，所以当t＝0时，f(t)min＝2，故函数y＝2x＋eq \r(x－1)的最小值为2. [答案]　2 函数最值与单调性的关系 (1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)； (2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间(b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)； (3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值． [跟踪训练] 1．函数f(x)＝ax＋eq \f(1,a)(2－x)，