2023年九年级中考数学一轮复习讲义　　二次函数的应用

18. 二次函数的应用 · 知识过关 1.二次函数图像与系数a、b、c的关系 系数 系数的符号图像的特征 图像的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 a、b同号 对称轴在y轴左侧 a、b异号 对称轴在y轴右侧 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 与x轴只有一个交点 与x轴无交点 2. 二次函数与一元二次方程的关系 (1) 如果抛物线与x轴有两个交点，则一元二次方程有两个_____实数根. (2) 如果抛物线与x轴只有1个交点，则一元二次方程有两个_____实数根. (3) 如果抛物线与x轴无交点，则一元二次方程没有实数根. 3. 二次函数与一次交点 一次函数的图像L与二次函数的图像G的交点，由方程的解的个数确定 (1)方程组有两组不同的解L与G有______交点； (2)方程组只有一组解L与G只有______交点； (3)方程组无解L与G_______交点. 4. 二次函数的实际应用 建立二次函数模型—求出二次函数解析式—结合函数解析式—解答问题. · 考点分类 考点1 二次函数图像与系数的关系 例1二次函数的图像如图所示，现有下列结论：①；②a>0;③b>0；④c>0; ⑤，则其中结论正确的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 考点2二次函数的实际应用 例2某文具店购进一批纪念册，线本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本. (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获昨的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 考点3二次函数的综合应用 例3如图所示，直线与抛物线相交于点A和点B，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⟂x轴于点C，交抛物线于点D. (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； (3)当△PAD为直角三角形时，求点P的坐标. · 真题演练 1．二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C． D． 2．函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　） ①2a+b＝0； ②c＝3； ③abc＞0； ④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④ 3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（　　） A． ①③ B．②④ C．③④ D．②③ 7．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交