重难点10全等三角形中“雨伞”模型-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

重难点10全等三角形中“雨伞”模型 【知识梳理】 【考点剖析】 一．选择题（共2小题） 1．（2022秋•东港区校级期末）如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．7cm2 【解答】解：延长AP交BC于E， ∵AP垂直∠B的平分线BP于P， ∠ABP＝∠EBP， 又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°， ∴△ABP≌△BEP， ∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE， ∴△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC＝S△PCE， ∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝5cm2， 故选：B． 2．（2022秋•常州期中）如图，△ABC的面积为12cm2，AP垂直于∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　） A．9cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．5cm2 【解答】解：延长AP交BC于点D， ∵BP平分∠ABD， ∴∠ABP＝∠DBP， ∵BP⊥AP， ∴∠BPA＝∠BPD＝90°， ∵BP＝BP， ∴△BAP≌△BDP（ASA）， ∴AP＝PD， ∴△ABP的面积＝△BDP的面积，△APC的面积＝△DPC的面积， ∵△ABC的面积为12cm2， ∴△PBC的面积＝△BPD的面积+△DCP的面积 ＝△ABC的面积 ＝×12 ＝6（cm2）， 故选：C． 二．填空题（共1小题） 3．（2022秋•邗江区校级月考）如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△PBC的面积为　　cm2． 【解答】解：延长AP交BC于E， ∵AP垂直∠B的平分线BP于P， ∠ABP＝∠EBP， 又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°， ∴△ABP≌△BEP， ∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE， ∴△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC＝S△PCE， ∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2， 故答案为：4． 三．解答题 4．（2021秋•荔城区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点P在△ABC内连接PB和PC，BP＝AB． （1）若∠BAC＝50°，且∠PBC＝∠ACP，求∠BPC的度数． （2）取BC的中点D，连接AD交CP延长线于点M，当∠ABP＝2∠ACP时，试判断∠BAC与∠ABP之间的关系，画出图形并说明理由． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝50°， ∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣50°）＝65°， ∵∠PBC＝∠ACP， 又∵∠APB＝∠ABC﹣∠PBC，∠PCB＝∠ACB﹣∠ACP， ∴∠APB＝∠PCB， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠PBC+∠APB）＝180°﹣∠ABC＝180°﹣65°＝115°； （2）∠BAC+∠ABP＝120°， 理由：过点A作底边BC的中线AD，连接BM，画图如下， ∵AB＝AC， ∴AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC， ∴BM＝CM， ∵点M在底边BC的中线上， ∴点M在∠BAC的平分线AD上， 即AM平分∠BAC， ∴∠CAM＝∠BAM＝β， 在△ABM和△ACM中， ， ∴△ABM≌△ACM（SAS）， ∴∠ACM＝∠ABM＝α， ∵∠ABP＝2∠ACP＝2∠ACM＝2α，∠ABP＝∠ABM+∠PBM＝α+∠PBM＝2α， ∴∠ABM＝∠PBM＝α， 在△ABM和△PBM中， ， ∴△ABM≌△PBM（SAS）， ∴∠AMB＝∠PMB， 在△ABM中，∠BMA＝α+β， 在△ACM中，∠CMD＝α+β， 由∠AMB＝∠PMB得：180°﹣α﹣β＝2（α+β）， ∴α+β＝60°， 则∠BAC+∠ABP＝2α+2β＝120°． 5．（2021秋•滨湖区校级月考）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E． 求证：CE＝BD． 【解答】证明：如图，延长CE，BA交于点F． ∵CE⊥BD，∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAF＝∠BEC＝90°． 又∵∠ADB＝∠EDC， ∴∠ABD＝∠ACF． 在△ABD与△ACF中， ∴△ABD≌△ACF（ASA）． ∴BD＝CF． ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠FBE． 在△BCE与△BFE中， ∴△BCE≌△BFE（ASA）． ∴CE＝FE，即CE＝CF． ∴CE＝BD． 6．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由