第17讲 重难点拓展：“手拉手全等模型”三种常见题型解题技巧【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第17讲 重难点拓展：“手拉手全等模型”三种常见题型解题技巧 题型一：等腰三角形的手拉手模型 题型二：等边三角形的手拉手模型 题型三：直角三角形的手拉手模型 题型一：等腰三角形的手拉手模型 【模型解读】 条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM； 题型二：等边三角形的手拉手模型 【模型解读】 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°； 题型三：等腰直角三角形的手拉手模型 【模型解读】 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°； 题型归纳 题型一：等腰三角形的手拉手模型 【例1】（2023秋•华亭市校级期末）（1）如图（1），和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，连接．则的度数为 　　度，线段与的数量关系为 　　（用几何语言填写）． （2）如图（2），和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．若，求与的位置关系． 【变式1-1】．（2023秋•确山县校级期中）如图，已知在等腰中，，在等腰中，，连接，，试猜想与在长度和位置上有何关系，并证明你的结论． 【变式1-2】．（2023秋•红桥区期末）在和中，，，，连接，． 【发现问题】如图①，若，延长交于点，则与的数量关系是 　 　，的度数为 　　． 【类比探究】如图②，若，延长，相交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若，且点，，在同一条直线上，过点作，垂足为点，请猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式1-3】（2023秋•鹿寨县期中）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 初步把握如图2，与都是等腰三角形，，，且，则有 　　 　　． 深入研究如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，求证：． 拓展延伸如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 题型二：等边三角形的手拉手模型 【例2】（2023秋•武都区期末）如图，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点． （1）求证：． （2）求的度数． 【变式2-1】．（2023秋•道外区期末）中，，分别以、为边作等边、等边，、交于点，连接并延长交于点． （1）如图1，求证：点是的中点； （2）如图2，连接，在不添加字母和辅助线的情况下，直接写出图中所有能用图中字母表示的等腰三角形（非等边三角形）． 【变式2-2】（2023春•莱芜区期末）在中，为锐角，点为射线上一点，且与点、不重合，连接，以为边，向外作等边三角形，连接． （1）若，； ①如图1，当点在线段上时，试探讨与的数量关系和此时与位置关系，并说明理由； ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由； （2）如图3，若，，点在线段上，且时，求的度数． 【变式2-3】（2023春•莱芜区期末）在中，为锐角，点为射线上一点，且与点、不重合，连接，以为边，向外作等边三角形，连接． （1）若，； ①如图1，当点在线段上时，试探讨与的数量关系和此时与位置关系，并说明理由； ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由； （2）如图3，若，，点在线段上，且时，求的度数． 题型三：直角三角形的手拉手模型 【例3】如图所示，是一个等腰直角三角形，其中．是斜边上一点，连接线段，并逆时针旋转至，连接线段． （1）证明：． （2）判断的形状． 【变式3-1】如图，已知，，，，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【变式3-2】．（2023秋•屯昌县期末）如图，在中，，垂足为，，点在线段上，；，分别是，的中点，连接． （1）判断和的数量关系，并说明理由； （2）判断的形状，并说明理由． 【变式3-3】．（2023•定西模拟）（1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． 填空：①的度数为　 　； ②线段，之间的数量关系为　　． （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由． 过关检测 1．（2023秋•镇平县期中）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下探究： （1）如图1，两个等腰三角形和中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”．在这个模型中，和全等的三角形是 　 　，此时线段和的数量关系是 　 　； （2）如图2，两个等腰直角和中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，已知，以，为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于，与相交于点，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 2．（2023秋•道里区校级期中）【模型建立】（1）如图1，、为等边三角形，连接、，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在与中，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点，，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，在与中，，，，与交于点，，的面积为18，求的长． 3．（2023春•钢城区期末）在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果． ①则与全等吗？请说明理由； ②求的度数； （2）如图2，如果，当点在线段上移动，则的度数是 　　； （3）如图2，当点在线段上，如果，点为中边上的一个动点与、均不重合），当点运动到什么位置时，的周长最小？ 4．（2022秋•淅川县期末）感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连结． ①的度数为 　　度； ②线段、、之间的数量关系是 　　； ③若，，则线段的长为 　　． 5．（2022秋•重庆期末）与均为等腰直角三角形，． （1）如图1，当，，在同一直线时，的延长线与交于点．求证：； （2）当与的位置如图2时，的延长线与交于点，猜想的大小并证明你的结论； （3）如图3，当，，在同一直线时，在点的异侧），与交于点，，求证：． 6．（2023秋•渝北区校级期中）在中，，．点为内部一点，连接，，． （1）如图1，若，，求点到直线的距离； （2）如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：； （3）如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数． 7．（2023秋•南岗区校级期中）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若平分，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 8．如图，是等腰直角三角形，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在射线上运动．点出发后，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，使，连接．设点的运动时间为秒． （1）的边上高为 　　； （2）求的长（用含的式子表示）； （3）就图中情形求证：； （4）当时，直接写出的值． 9．（2023春•镇海区校级期末）【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，与中，，，，与交于点，，，的面积为18，求的长． 10．（2022秋•宁强县期末）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接． 填空：的度数为 　 　；线段与之间的数量关系是 　　 ． （3）拓展探究 如图3，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 重难点拓展：“手拉手全等模型”三种常见题型解题技巧 题型一：等腰三角形的手拉手模型 题型二：等边三角形的手拉手模型 题型三：直角三角形的手拉手模型 题型一：等腰三角形的手拉手模型 【模型解读】 条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM； 题型二：等边三角形的手拉手模型 【模型解读】 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°； 题型三：等腰直角三角形的手拉手模型 【模型解读】 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°； 题型归纳 题型一：等腰三角形的手拉手模型 【例1】（2023秋•华亭市校级期末）（1）如图（1），和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，连接．则的度数为 　　度，线段与的数量关系为 　　（用几何语言填写）． （2）如图（2），和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．若，求与的位置关系． 【分析】（1）根据手拉手模型旋转型全等可得，然后利用全等三角形的性质可得，，再根据已知易得：，从而可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； （2）根据手拉手模型旋转型全等可得，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，即可解答． 【解答】解：（1）和均为等腰三角形，且， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：90；； （2）， 理由：和均为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键． 【变式1-1】．（2023秋•确山县校级期中）如图，已知在等腰中，，在等腰中，，连接，，试猜想与在长度和位置上有何关系，并证明你的结论． 【分析】延长交于点，交于点，根据等腰直角三角形的性质可得，，，从而利用等式的性质可得，然后利用证明，从而可得，，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，最后利用对顶角相等可得，从而可得，再利用三角形内角和定理可得，即可解答． 【解答】解：，， 理由：延长交于点，交于点， 在等腰中，，在等腰中，， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式1-2】．（2023秋•红桥区期末）在和中，，，，连接，． 【发现问题】如图①，若，延长交于点，则与的数量关系是 　　，的度数为 　　． 【类比探究】如图②，若，延长，相交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若，且点，，在同一条直线上，过点作，垂足为点，请猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）利用证明，可得，再由等腰直角三角形的性质可得，即，根据，等量代换可得． 【解答】解：（1），， 理由如下：如图1所示，设与交于点， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，， ． 故答案为：，； （2），， 理由如下：如图2， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，， ， ； （3）【拓展延伸】， 理由如下：如图3， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ，，， ，即， ， ． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【变式1-3】（2023秋•鹿寨县期中）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 初步把握如图2，与都是等腰三角形，，，且，则有 　　　　． 深入研究如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，求证：． 拓展延伸如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【分析】初步把握易证，再证即可； 深入研究易证，再证，即可得出结论； 拓展延伸易证，再证，得，，再由三角形的外角性质证出，则即可． 【解答】初步把握解：， ， 即， 在和中， ， ， 故答案为：，； 深入研究证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ； 拓展延伸解：，，理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 题型二：等边三角形的手拉手模型 【例2】（2023秋•武都区期末）如图，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点． （1）求证：． （2）求的度数． 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，，证明，则可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出．则可得出答案． 【解答】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ． （2）解：由（1）可得， ． ， ， 即． 【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是解答的关键． 【变式2-1】．（2023秋•道外区期末）中，，分别以、为边作等边、等边，、交于点，连接并延长交于点． （1）如图1，求证：点是的中点； （2）如图2，连接，在不添加字母和辅助线的情况下，直接写出图中所有能用图中字母表示的等腰三角形（非等边三角形）． 【分析】（1）根据等边三角形性质可得，即可推出，得出，根据等角对等边可得，运用线段垂直平分线的判定得出结论； （2）运用等角对等边即可判定和是等腰三角形，通过等边三角形性质可判定是等腰三角形，再证明，得出，即可判定是等腰三角形． 【解答】（1）证明：、是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， 点是的中点； （2）解：， ， 是等腰三角形， ， 是等腰三角形， 、是等边三角形， ，，， ， ， 是等腰三角形， ，垂直平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有、、、共4个． 【点评】本题考查了等边三角形性质，等腰三角形的判定，全等三角形判定和性质，线段垂直平分线的判定等，是一道常考的基础题． 【变式2-2】（2023春•莱芜区期末）在中，为锐角，点为射线上一点，且与点、不重合，连接，以为边，向外作等边三角形，连接． （1）若，； ①如图1，当点在线段上时，试探讨与的数量关系和此时与位置关系，并说明理由； ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由； （2）如图3，若，，点在线段上，且时，求的度数． 【分析】（1）①由和是等边三角形，得出，再证，然后再结合平行线的判定，可得出结论； ②与①的证法类似，可先由，证，再证，然后再结合平行线的判定，可得出结论； （2）过点作，交于点，证，再证 是等边三角形，从而得出结论． 【解答】解：（1）①，； 理由如下： ，， 是等边三角形， ， 又是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； ②，仍然成立，理由如下： 和是等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （2）过点作，交于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是构造全等三角形解决问题，属于常考题型． 【变式2-3】（2023春•莱芜区期末）在中，为锐角，点为射线上一点，且与点、不重合，连接，以为边，向外作等边三角形，连接． （1）若，； ①如图1，当点在线段上时，试探讨与的数量关系和此时与位置关系，并说明理由； ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由； （2）如图3，若，，点在线段上，且时，求的度数． 【分析】（1）①由和是等边三角形，得出，再证，然后再结合平行线的判定，可得出结论； ②与①的证法类似，可先由，证，再证，然后再结合平行线的判定，可得出结论； （2）过点作，交于点，证，再证 是等边三角形，从而得出结论． 【解答】解：（1）①，； 理由如下： ，， 是等边三角形， ， 又是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； ②，仍然成立，理由如下： 和是等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （2）过点作，交于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是构造全等三角形解决问题，属于常考题型． 题型三：直角三角形的手拉手模型 【例3】如图所示，是一个等腰直角三角形，其中．是斜边上一点，连接线段，并逆时针旋转至，连接线段． （1）证明：． （2）判断的形状． 【分析】（1）由题可得，，，由旋转的性质得可得，，，再根据可得，以此即可通过证明． （2）根据题意和可得，，则，以此即可判断． 【解答】（1）证明：是一个等腰直角三角形，其中， ， 线段逆时针旋转得到， ，， ， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）知，， ， 是一个等腰直角三角形， ， ， ， 为直角三角形． 【点评】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，熟练掌握旋转的性质以及全等三角形的判定与性质是解题关键． 【变式3-1】如图，已知，，，，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【分析】（1）利用说明得结论； （2）先利用全等三角形的性质说明，再利用三角形内角和定理说明得结论． 【解答】证明：（1），， ． ，即． 在和中， ， ． ． （2）由（1）知：， ． ， ． ． ， ． 在中， ． ． 【点评】本题主要考查了全等三角形，掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解决本题的关键． 【变式3-2】．（2023秋•屯昌县期末）如图，在中，，垂足为，，点在线段上，；，分别是，的中点，连接． （1）判断和的数量关系，并说明理由； （2）判断的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据垂直定义可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用等量代换即可解答； （2）先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，，再利用（1）的结论可得：，从而可得，然后利用角的和差关系以及等量代换可得，从而可得，再利用（1）的结论可得是等腰直角三角形，即可解答． 【解答】解：（1）， 理由：， ， ，分别是，的中点， ，， 在和中， ， ， ， ； （2）是等腰直角三角形， 理由：，，分别是，的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键． 【变式3-3】．（2023•定西模拟）（1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． 填空：①的度数为　 　； ②线段，之间的数量关系为　　． （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）易证，即可求证，根据全等三角形对应边相等可求得，根据全等三角形对应角相等即可求得的大小； （2）易证，可得，进而可以求得，即可求得，即可解题． 【解答】解：（1），， ， 在和中， ， ， ，， ； （2），， 理由：如图2， 和均为等腰直角三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ，． 为等腰直角三角形， ， 点、、在同一直线上， ． ， ． ，， ． ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键． 过关检测 1．（2023秋•镇平县期中）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下探究： （1）如图1，两个等腰三角形和中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”．在这个模型中，和全等的三角形是 　 　，此时线段和的数量关系是 　 　； （2）如图2，两个等腰直角和中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，已知，以，为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于，与相交于点，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）先判断出，得出，，进而求出，最后用三角形外角的性质，即可得出结论． 【解答】解：（1）， ． ， 在和中， ， ， ， 故答案为：，； （2），； 理由如下：， ． ． 在和中， ， ， ，， ， ， 即， ， ， 综上所述：且； （3）如图3所示，，； 和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，判断出是解本题的关键． 2．（2023秋•道里区校级期中）【模型建立】（1）如图1，、为等边三角形，连接、，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在与中，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点，，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，在与中，，，，与交于点，，的面积为18，求的长． 【分析】（1）证明，即可得； （2）首先由得到，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）连接，首先得到，然后证明出，然后得到，设的长度为，列方程求解即可． 【解答】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即． ， ； （2）解：作于点，如图2所示： ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点为中点， ； （3）解：连接，如图3所示： ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是公共部分， ， 设的长度为， 则， 解得：（负值已舍去）， 故的长度为6． 【点评】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． 3．（2023春•钢城区期末）在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果． ①则与全等吗？请说明理由； ②求的度数； （2）如图2，如果，当点在线段上移动，则的度数是 　120　； （3）如图2，当点在线段上，如果，点为中边上的一个动点与、均不重合），当点运动到什么位置时，的周长最小？ 【分析】（1）根据，易得，再证； （2）证明，推出，再由得出结论； （3）由可得出，推出，由的周长，为定值，推出最小时，得到周长最小，由垂线段最短即可解决问题． 【解答】（1）①证明：， ， ， 在和中， ， ， ②解：，， ， ， ， ； 的度数为； （2）解：，，， ，， ， ， ， 故答案为：120； （3）由（2）可知：， ， ， 的周长， 为定值， 当的值最小时，得到周长最小， ，， 是等边三角形， 时，的值最小，此时， 当点运动到的中点时，是周长最小． 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 4．（2022秋•淅川县期末）感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连结． ①的度数为 　　度； ②线段、、之间的数量关系是 　　； ③若，，则线段的长为 　　． 【分析】探究：利用证明，得； 应用：①同理证明，得； ②由全等三角形的性质得即可； ③首先证明，再利用勾股定理即可得出答案． 【解答】解：探究：成立，证明如下： 和都是等腰直角三角形， ，， 将绕点逆时针旋转，连结和， ， 在与中， ， ， ； 应用：①和都是等腰直角三角形， ，，， 在与中， ， ， ， 故答案为：45； ②， ， ， 故答案为：； ③， ， 又， ， 在中， ， ， 又，， 在中，， 故答案为：． 【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 5．（2022秋•重庆期末）与均为等腰直角三角形，． （1）如图1，当，，在同一直线时，的延长线与交于点．求证：； （2）当与的位置如图2时，的延长线与交于点，猜想的大小并证明你的结论； （3）如图3，当，，在同一直线时，在点的异侧），与交于点，，求证：． 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，由对顶角的性质可得出答结论； （2）同理可证，得出，则可得出结论； （3）过点作于点，同（2）可知，证出，证明，由全等三角形的性质得出，则得出结论． 【解答】（1）证明：和是等腰直角三角形， ，，， 在和中， ， ， ， ， 又， ． （2）解：． 理由如下： 同理可证， ， ． （3）过点作于点，同（2）可知， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． 6．（2023秋•渝北区校级期中）在中，，．点为内部一点，连接，，． （1）如图1，若，，求点到直线的距离； （2）如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：； （3）如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数． 【分析】（1）过点作于，过点作于，可证得，得出，再由等腰三角形性质可得； （2）延长交于点，过点作于点，可证得，进而可证，即可证得结论； （3）作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，可证得，得出，即点在直线上运动，当且仅当时，最短，即点与点重合，作点关于的对称点，连接，则，即，再利用等腰三角形性质即可求得答案． 【解答】（1）解：过点作于，过点作于，如图1， 则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 即点到直线的距离为4； （2）证明：延长交于点，过点作于点， 则， 是等腰直角三角形，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图3，作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接， 则，， ，， ， ， ， ，且满足， ， ， 在和中， ， ， ， 即点在直线上运动， 当且仅当时，最短，即点与点重合， 如图4，连接， 则，即， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线段最短，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题． 7．（2023秋•南岗区校级期中）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若平分，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【分析】（1）利用三角形内角和定理和等腰三角形性质即可证得结论； （2）过点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于，利用可证得，再利用可证得，即可证得结论； （3）过点作，交于，过点作交于，作交的延长线于点，可证得，，推出，再证得，可得，结合已知条件：，，即可求得答案． 【解答】（1）证明：如图1， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）证明：过点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于， 则， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图3，过点作，交于，过点作交于，作交的延长线于点， 则，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ，， ． 【点评】本题是三角形综合题，考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，第3问难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 8．如图，是等腰直角三角形，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在射线上运动．点出发后，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，使，连接．设点的运动时间为秒． （1）的边上高为 　　； （2）求的长（用含的式子表示）； （3）就图中情形求证：； （4）当时，直接写出的值． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可； （2）根据两种情况，利用线段之间关系得出代数式即可； （3）根据证明与全等即可； （4）利用全等三角形的性质解得即可． 【解答】（1）解：是等腰直角三角形，，， 的边上高， 故答案为：3； （2）解：，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在射线上运动， 点在线段上运动的时间为（秒， 当时，， 当时，； （3）证明：是等腰直角三角形，， ， ，， ，， ， 在与中， ， ； （4）解：， ， 当时，当时，， 解得：， 当时，当时，， 解得：， 综上所述，的值为2或6． 【点评】此题考查三角形的综合题，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 9．（2023春•镇海区校级期末）【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，与中，，，，与交于点，，，的面积为18，求的长． 【分析】（1）由证即可； （2）①同（1）得，得，即可得出结论； ②过点作于点，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论； （3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论． 【解答】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：①，， ， ， 同（1）得：， ， ； ②如图2，过点作于点， 则， 由①可知，， ， 点为中点， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的长为6． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 10．（2022秋•宁强县期末）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接． 填空：的度数为 　 　；线段与之间的数量关系是 　　 ． （3）拓展探究 如图3，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出． （2）首先根据和均为等边三角形，可得，，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出的度数为即可． （3）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出的度数为即可；最后根据，，，可得，所以，据此判断出即可． 【解答】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ． （2）解：和均为等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ，， 点，，在同一直线上， ， ， ， 综上，可得 的度数为；线段与之间的数量关系是：． 故答案为：、． （3）解：和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， 点，，在同一直线上， ， ， ； ，，， ， ， ． 【点评】（1）此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$